发布时间 : 星期一 文章2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案更新完毕开始阅读2ef94fabfac75fbfc77da26925c52cc58ad6907b
∴AF＝
2
106，DF＝， 22
2
2
∴DF＋AD＝AF，∴△ADF为直角三角形，
6EO·S△ADC.∴h＝＝4S△FDA33
×2464
6. 4
∴S△FDA＝＝
设直线AC与平面FDA所成的角为θ， 在△ADC中，易得AC＝3，则sin θ＝＝方法二 ∵DE∥CF，
1
∴DE在平面ABCD上的投影长度为，
2过点E作EO⊥AD于点O，
∵平面DAE⊥平面ABCD，且平面DAE∩平面ABCD＝AD，EO?平面DAE. 1
∴EO⊥平面ABCD，则OD＝，
2
∵在等腰梯形ABCD中，由已知易得AD＝BC＝1. ∴点O为线段AD的中点．
以O为原点，OE所在直线为z轴，过O且平行于DC的直线为y轴，过O且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系，易得x轴在平面ABCD内．
hAC2. 4
可得A?
1?35??31??3??3?
，－，0?，C?－，，0?，D?－，，0?，E?0，0，?，
4?2??4?44??44??
33?→?31?→?
∴AC＝?－，，0?，DA＝?，－，0?，
2??22??2
13?3??33→→→→→?3
DF＝DE＋EF＝DE＋DC＝?，－，?＋(0,1,0)＝?，，?.
42??4?442?设平面ADF的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·DA＝0，
则?
→??n·DF＝0，
31
??2x－2y＝0，得?333
x＋y＋z＝0.??442
5
令x＝1，得平面ADF的一个法向量为
n＝(1，3，－2)．
若直线AC与平面ADF所成的角为θ， →
则sin θ＝|cos〈n，AC〉|＝
322×3
＝2. 4
思维升华 (1)运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找——证——求的步骤进行． (2)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系．
跟踪演练2 (2018·杭州质检)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段
BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.
(1)证明：平面AMC′⊥平面ABD；
(2)求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值． (1)证明 因为△ABC为等腰三角形，M为BC的中点， 所以AM⊥BD，
又因为AC′⊥BD，AM∩AC′＝A，AM，AC′?平面AMC′， 所以BD⊥平面AMC′，
因为BD?平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.
(2)解 在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交直线AM于点F，连接FD. 由(1)知，平面AMC′⊥平面ABD，
又平面AMC′∩平面ABD＝AM，C′F?平面AMC，所以C′F⊥平面ABD. 所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝AC′＝2，BC＝23，
MD＝2－3，DC＝DC′＝23－2，AD＝6－2.
在Rt△C′MD中，
MC′2＝DC′2－MD2＝(23－2)2－(2－3)2＝9－43.
设AF＝x，在Rt△C′FA和Rt△C′FM中，AC′－AF＝MC′－MF，即4－x＝9－43－(x2
2
2
2
2
6
－1)，
解得x＝23－2，即AF＝23－2. 所以C′F＝223－3.
故直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值等于
2
C′F23－3
＝. DC′3－1
热点三 二面角
二面角有两种求法：①几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算．
②向量法：利用两平面的法向量．设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，
b4，c4)，设二面角α—a—β的平面角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|＝v〉|.
|μ·v|
＝|cos〈μ，
|μ||v|
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段AD上且AE＝3，现分别沿BE，CE所在的直线将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D－EC－B的余弦值为( )
4567A. B. C. D. 5678答案 D
解析 如图1所示，连接BD，设其与CE的交点为H，由题意易知BD⊥CE.翻折后如图2所示，连接BD，
图1 图2
则在图2中，∠BHD即为二面角D－EC－B的平面角， 2585易求得BD＝22，DH＝，BH＝，
55
BH2＋DH2－BD27
所以cos∠DHB＝＝，
2BH·DH8
故选D.
思维升华 (1)构造二面角的平面角的方法(几何法)：
7
根据定义；利用二面角的棱的垂面；利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等． (2)向量法：根据两平面的法向量．
跟踪演练3 (2018·绍兴质检)已知四面体SABC中，二面角B－SA－C，A－SB－C，A－SC－B的平面角的大小分别为α，β，γ，则( ) π
A.<α＋β＋γ<π 2B.
3π
<α＋β＋γ<2π 2
C．π<α＋β＋γ<3π D．2π<α＋β＋γ<3π 答案 C
解析 设三棱锥的顶点S距离底面ABC无穷远，则三棱锥S－ABC近似为以△ABC为底面的三棱柱，此时二面角的平面角α，β，γ等于三角形ABC的三个内角；若顶点S与底面ABC的距离趋向于0，则三棱锥S－ABC近似压缩为四顶点共面，则当S为△ABC内一点时，二面角的平面角α，β，γ的大小都为π，因此α＋β＋γ∈(π，3π)，故选C.
真题体验
1．(2017·全国Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③
解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知，点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
→
设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿
8