发布时间 : 星期日 文章2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案更新完毕开始阅读2ef94fabfac75fbfc77da26925c52cc58ad6907b
所以GF∥平面SBC.
因为GE∥SB，SB?平面SBC，GE?平面SBC， 所以GE∥平面SBC，
又GE∩GF＝G，GE，GF?平面GEF， 所以平面GEF∥平面SBC，
又EF?平面GEF，所以EF∥平面SBC.
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方法二 取SC的中点H，连接FH，BH，因为F是SD的中点，所以FH∥CD，FH＝CD，
2又CD∥AB，CD＝AB，点E是AB的中点，所以FH∥BE，FH＝BE，所以四边形EFHB是平行四边形，
所以EF∥BH，
又BH?平面SBC，EF?平面SBC，所以EF∥平面SBC. (2)解 方法一 如图，连接AF.
因为SA＝AD，SA⊥AD， 所以AF⊥SD. 因为SA⊥平面ABCD， 所以SA⊥CD.
因为AD⊥CD，SA∩AD＝A，SA，AD?平面SAD， 所以CD⊥平面SAD，
因为AF?平面SAD，所以CD⊥AF， 又SD∩CD＝D，SD，CD?平面SCD， 所以AF⊥平面SCD.
所以∠AFE即为直线EF与平面SCD所成角的余角． 令SA＝AD＝2AB＝4，
则AE＝1，AF＝22，所以EF＝3.
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设直线EF与平面SCD所成的角为θ， 则sin θ＝sin?
?π－∠AFE?＝cos∠AFE＝AF＝22.
?EF3?2?
22
所以直线EF与平面SCD所成角的正弦值为.
3方法二 因为四边形ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD， 所以直线AB，AD，AS两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 设SA＝AD＝2AB＝4，
则S(0,0,4)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，E(1,0,0)，F(0,2,2)． →→→
所以EF＝(－1,2,2)，SD＝(0,4，－4)，DC＝(2,0,0)． 设平面SCD的法向量为a＝(x，y，z)， →??a·SD＝4y－4z＝0，
则?
→??a·DC＝2x＝0，
取y＝1，所以a＝(0,1,1)是平面SCD的一个法向量． 设直线EF与平面SCD所成的角为θ， →
|a·EF||0＋2＋2|22
所以sin θ＝＝＝.
→32×3|a|·|EF|22
所以直线EF与平面SCD所成角的正弦值为.
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A组 专题通关
1．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
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A.
315103 B. C. D. 2553
答案 C
解析 方法一 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图①所示，连接
AD1，B1D1，BD.
图①
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1， 所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD＝2＋1－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝3.
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
222
AB1＋AD1－B1D15＋2－310
所以cos θ＝＝＝.
2×AB1×AD12×5×25
2
2
2
故选C.
方法二 以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图②所示．
图②
→→
由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，3，1)，则BC1＝(1,0，－1)，AB1＝(1，－3，－1)． 所以cos〈AB1，BC1〉＝
→
→
210＝＝.
→→55×2|AB1||BC1|
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. 5
AB1·BC1
→→
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故选C.
2．(2018·嘉兴、丽水模拟)已知两个平面α，β和三条直线m，a，b，若α∩β＝m，a?
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α且a⊥m，b?β，设α和β所成的一个二面角的大小为θ1，直线a和平面β所成的角
的大小为θ2，直线a，b所成的角的大小为θ3，则( ) A．θ1＝θ2≥θ3 C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 答案 D
解析 当平面α与平面β所成的二面角为锐角或直角时，θ1＝θ2，当平面α与平面β所成的二面角为钝角时，θ2为θ1的补角，则θ1>θ2，综上所述，θ1≥θ2，又由最小角定理得θ3≥θ2，故选D.
3．如图，正四棱锥P－ABCD.记异面直线PA与CD所成的角为α，直线PA与平面ABCD所成的角为β，二面角P－BC－A的平面角为γ，则( )
B．θ3≥θ1＝θ2 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2
A．β<α<γ C．β<γ<α 答案 C
解析 如图，过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心．连接AO，并过O点作OE⊥BC，交BC于点E，连接PE.
B．γ<α<β D．α<β<γ
∵AB∥DC，∴异面直线PA与CD所成的角就是∠PAB，而AO为PA在平面ABCD上的投影，∴∠PAO为PA与平面ABCD所成的角． ∴∠PAB>∠PAO.
又OE⊥BC，PO⊥BC，OE与PO相交于点O， ∴BC⊥平面POE，∴PE⊥BC，
因此∠PEO为二面角P－BC－A的平面角． ∵OE
又∠PAB＝∠PBE，cos∠PBE＝，cos∠PEO＝， ∵OE＝BE，PE ∴cos∠PBE BEPBOEPE 16