发布时间 : 星期一 文章2019届高三文科数学一轮复习学案 2.3函数的奇偶性与周期性更新完毕开始阅读2f207277e55c3b3567ec102de2bd960590c6d9dc
§2.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 考情考向分析 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 2.周期性
关于原点对称 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 知识拓展
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2a(a>0)． f?x?
1
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
f?x?
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案 －2
解析 f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝
2
??－4x＋2，－1≤x＜0，3??则f??2?＝______. ?x，0≤x＜1，?
答案 1
3??1?1
－＝－4×?－?2＋2＝1. 解析 f?＝f?2??2??2?
4．[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1111A．－ B. C．－ D. 3322答案 B
解析 依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a， 11
∴a＝，∴a＋b＝，故选B.
33
6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案 3
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.
题型一 判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－x2＋x2－3； lg?1－x2?(2)f(x)＝；
|x－2|－2
2??x＋x，x＜0，
(3)f(x)＝?2
?－x＋x，x＞0.?
2??3－x≥0，
解 (1)由?得x2＝3，解得x＝±3，
2??x－3≥0，
即函数f(x)的定义域为{－3，3}， ∴f(x)＝
3－x2＋x2－3＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
2
??1－x＞0，(2)由?得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
??|x－2|≠2，
lg?1－x2?∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. －xlg[1－?－x?2]lg?1－x2?
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
xx∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin 2x 1
C．y＝2x＋x
2答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x) ＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；
B．y＝x2－cos x D．y＝x2＋sin x