发布时间 : 星期一 文章排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）更新完毕开始阅读2f25c9b864ce0508763231126edb6f1aff00713d
排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）
说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。
一、排列数公式：
Anm=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)=n!(n-m)!
Ann=n(n-1)(n-1)?3创21
推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：
第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋
第m步，排第m位： 有（n-m+1）种选法； ┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：
Anmn(n-1)(n-2)?(n-m+1)n!C=m==Amm!m!(n-m)!
mnCnn=1
推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋
第m步，取第m个： 有（n-m+1）种取法； ┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题Anm分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题Cnm；
m第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列Am。
m根据乘法原理，Anm=CnmAm 即：
Anmn(n-1)(n-2)?(n-m+1)n!C=m==Amm!m!(n-m)!
mn
组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式，
C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。 这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。
三、重复组合数公式：
重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式：Rnm=Cnm+m-1 （m可小于、大于、等于n,n≥1） 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当 于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！ 于是答案就是：Rnm=(m+n-1)!=Cnm+m-1 m!(n-1)!四、不全相异的全排列 在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个五题是相同的，??，nk个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。那么，这些物体的全排列数是n!/(n1!n2!?nk!)。 可以想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有n1!种，第二种物体有n2!种，以此类推。 例：有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。 答：一共有10种， aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。 五、排列恒等式的证明： mm-1 ①An=(n-m+1)An 证明：右边=(n-m+1)n!n!m==An(n-m+1)!(n-m)! 左边=右边
② Anm=
nmAn-1 n-mn(n-1)? 证明：右边=n-m(n-m-1)!
n!m=An(n-m)!
左边=右边
mm-1A=nA③ nn-1
证明：右边=n(n-1)!n!m==An(n-m)!(n-m)!