发布时间 : 星期三 文章2015-2019年北京市五年高考理科数学试题汇总(2015、2016、2017、2018、2019)更新完毕开始阅读307288f7a78da0116c175f0e7cd184254b351bdb
【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）已知函数f（x）=ln
，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞（Ⅲ）设实数k使得f（x）
；
对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程． （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围． 【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x． （2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=
，
），则
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增． 所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=所以当当
）．
对x∈（0，1）恒成立．
，则 ，
）上单调递减．
时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜
．
所以当k＞2时，f（x）＞综上所知，k的最大值为2．
并非对x∈（0，1）恒成立．
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．
19．（14分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，点P（0，1）和点A（m，n）
（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．
（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，
求解即可得出即yQ2=xM?xN，+n2，根据m，m的关系整体求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a=∴
，b=1，c=1
+y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1 ∴PA的方程为：y﹣1=∴M（
，0）
x，y=0时，xM=
（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0） ∴点B（m，﹣n）（m≠0） ∵直线PB交x轴于点N， ∴N（
，0），
∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ）， ∴tan∠OQM=tan∠ONQ， ∴
=
，即yQ2=xM?xN，
+n2=1
yQ2=∴yQ=
=2， ，
）或Q（0，﹣
）
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，
【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方
法求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13分）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=记集合M={an|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值． 【分析】（Ⅰ）a1=6，利用an+1=
可求得集合M的所有元素为6，12，24；
（n=1，2，…），
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数；
（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1是3的倍数；于是ak﹣1是3的倍数； 类似可得，ak﹣2，…，a1都是3的倍数； 从而对任意n≥1，an是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数 （Ⅲ）对a1≤36，an=（n=2，3，…） 因为a1是正整数，a2=
，所以a2是2的倍数．
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36
（n=1，2，…），M={an|n∈N*}．