发布时间 : 星期三 文章精品解析：【市级联考】河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学(理科)试题(解析版)更新完毕开始阅读30af7ee0a88271fe910ef12d2af90242a995ab7f
18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.
（Ⅰ）在线段（Ⅱ）若
上找一点，使得
，
.
平面，
，并证明你的结论； ，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】 （I）取线段得
上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，
，所以，即可证明结论成立.
分别为
轴，过点且与
平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
，由向量法即可求出二面角的
（II）以为坐标原点，以直线求出平面平面角.
【详解】（I）取线段
.而
（II）易知 由已知可得点且与设
的一个法向量为
，平面的个法向量为
上靠近的三等分点，连接，所以
，所以
.因为.而.又
平面
.，故
，平面
，所以，故
平面，所以有分别为
,所以.
.轴，过
为等边三角形，所以，又
，所以
平面.以为坐标原点，以直线
平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. ，则
，
，所以，
，则有
.
，.
即
，
，
，则
，
设平面设
的一个法向量为，则
，所以
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设平面令所以
的个法向量为，则
，所以
，则有.
.
即
因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
（Ⅰ）求得分在上的频率；
（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） （Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在数为，求的分布列以及数学期望.
【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（I）由频率分布直方图可得所求的频率；
间的人
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（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可； （III）人数服从学期望E（X）．
【详解】（I）依题意，所求频率
（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：
.
，即可得出P（X＝k）＝
，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数
即问卷调查的平均得分的估计
值为
.
. ,,,
故的分布列为：
. .
（III）依题意，故
故.
【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.已知椭圆：
，点
，
.
的中点，求直线
的斜率；
（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段（Ⅱ）若直线：【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】 【分析】
与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.
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（I）因为即可计算直线（II）联立
在椭圆上，设的斜率；
，得
，且为线段的中点，得，，由点差法
，由可得，,由弦长公式
可得点到直线的距离由计算即可.
【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，
即因为为线段的中点，所以得
即故直线的斜率
（II）联立
可得，由可得，解得.设
由根与系数的关系可得
又点到直线的距离 当且仅当
，即
时取等号.故
的面积的最大值为
.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题. 21.已知函数（Ⅰ）讨论函数
的单调性.
.
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