发布时间 : 星期三 文章2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）更新完毕开始阅读31178855dd36a32d72758118
考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的综合问题． 圆锥曲线中的最值与范围问题． 菁优网权版所有（Ⅰ）由已知条件得A（﹣a，0），B（0，b），F（1，0），由由此能求出椭圆方程． （Ⅱ）若直线l斜率不存在，则l：x=1，=，推导出b2﹣a﹣1=0，；若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），的取值范围． M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理能求出解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0）， 设左顶点为A，上顶点为B， ∴A（﹣a，0），B（0，b），F（1，0）， ∵2， 222∴b﹣a﹣1=0，∵b=a﹣1，∴a﹣a﹣2=0，解得a=2， ∴a2=4，b2=3， ∴椭圆．…（4分） （Ⅱ）①若直线l斜率不存在，则l：x=1， 此时，，=； ②若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， ∴，， ∴2=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2） =（1+k）[x1x2﹣（x1+x2）+1] = ∵k2≥0，∴
，
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∴∴综上，点评： ， ， 的取值范围为． …（13分） 本题考查椭圆的方程的求法，考查线段乘积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用． 20．（13分）（2014?合肥一模）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用P（i，j）表示编号为i，j（1≤i＜j≤15）的样品首轮同时被抽到的概率． （Ⅰ）求P（1，15）的值； （Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和． 考点： 专题： 分析： 排列、组合及简单计数问题；收集数据的方法；古典概型及其概率计算公式． 概率与统计． 菁优网版所权有（Ⅰ）由分层抽样的方法从洋奶粉样品中抽取3个，国产奶粉样品中抽取2个，计算出P（1，15）的值； （Ⅱ）分情况求出1≤i＜j≤9，10≤i＜j≤15和1≤i≤9＜j≤15时，P（i，j）的个数是多少，从而求出它们的和． 解答： 解：（Ⅰ）由分层抽样可知： 首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个， 从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个， ∴P（1，15）==； （Ⅱ）①当1≤i＜j≤9时，P（i，j）==， 而这样的P（i，j）有=36个； ②当10≤i＜j≤15时，P（i，j）=， 而这样的P（i，j）有=15个； ③当1≤i≤9＜j≤15时，P（i，j）==， 而这样的P（i，j）有=54个； 所以，所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和为 ×36+点评：
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×15+×54=10． 本题考查了分层抽样法的应用以及概率与数学期望的问题，解题的关键是理解题中P（i，j）的含义，以及（Ⅱ）中i、j的适当分情况计算问题，是易错题．
21．（13分）（2014?合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，fn（n））为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）求证：an＜
；
（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＜． 考点： 专题： 分析： 数列与不等式的综合；定积分． 菁优网权版所有综合题；压轴题；点列、递归数列与数学归纳法． （Ⅰ）求出原函数的导函数，求出切点坐标，由直线方程的点斜式求得切线方程，由定积分求得函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an； （Ⅱ）要证明an＜，即证明＜，可设想构造函数h（x）=ln（1+x） （x≥0），由其导函数确定原函数的单调性，进一步得到ln（1+x）＜成立，取x=，然后不等式两边同时乘以n，则可证得an＜（Ⅲ）法一、由（Ⅱ）中不等式进一步放缩得到an＜数列 {an}求和后正负项相消可证明不等式； 法二、把数列{an}的前n项和的前两项作和，然后由放大n≥3的项，可证明n≥3时Sn＜，单独验证S1，S2后可得答案． 解答： （Ⅰ）解：由fn（x）=x+，得切点为（n，n+1），则切线ln方程为即∴（Ⅱ）证明：构造函数h（x）=ln（1+x）， = （x≥0）， ； ， ， ＜； ，把则h′（x）=即函数h（x）=ln（1+x）∴h（x）≤0，等号在x=0时取得， ∴当x＞0时，ln（1+x）＜ （x≥0）单调递减，而h（0）=0， 成立， - 23 -
∴知∴an=（Ⅲ）证明： 法一、 ∵an＜＜， ＜＜； ∴当n=1时，Sn=a1=＜； 当n≥2时，＜ =方法二、 ＜． 由（Ⅱ）知an＜∴Sn=a1+a2+a3+…+an=， =， （n≥3，n∈N*） ∵∴=又，=， ∴综上所述：对一切n∈N*，都有Sn＜． 点评： 本题考查了数列与不等式的综合，考查了定积分，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法求证不等式， 对于（Ⅱ）的证明，构造函数h（x）=ln（1+x）键是对每一项的放缩，是难度较大的题目．
（x≥0）是难点，证明（Ⅲ）的关 - 24 -
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；maths；清风慕竹；837357642；刘长柏；sllwyn；caoqz；wfy814；zlzhan；wkl197822；742048；sxs123（排名不分先后） 菁优网
2015年1月4日
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