发布时间 : 星期二 文章数列通项公式的十种方法(已打)更新完毕开始阅读31590d3a4431b90d6c85c76a
五、型
例5. 已知b≠0，b≠±1，
写出用n和b表示an的通项公式。
，
解：将已知递推式两边乘以，得
，又设
，
于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，
故
。
说明：对于递推式，可两边除以，得
，引入辅助数列
，然后可归结为类型三。
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六、型
例6. 已知数列，求。
解：在两边减去。
所以为首项，以
。
所以令上式，再把这个等式累加，得
。所以 。
说明：
可以变形为，就是
，则可从
公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。
，解得，于是是
等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在
于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。
转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。
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附：构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项
求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列?an?中，a1?1，an?1?11?4an?1?24an。求an。 16（1981年第22届IMO预选题）
??分析 本题的难点是已知递推关系式中的1?24an较难处理，可构建新数列?bn?，令
bn?1?24an，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列?bn?，使bn?1?24an?0
2bn?1则 b1?5，b?1?24an ，即an?
242n22?bnbn?11?22?1?1?? 化简得 ?2bn?1???bn?3? ??1?4??bn??2416?24?? 2bn?1?bn?3，即 bn?1?3?1?bn?3?
2数列 ?bn?3? 是以2为首项，
1为公比的等比数列。 2?1?bn?3?2????2?n?1?22?n 即 bn?22?n?3
2bn?122n?1?3?2n?1?1? an??
243?22n?12 证明不等式
这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设a0?1，an?21?an?1?1an?1 ?n?N?，求证：an??2n?2。
（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）
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分析 利用待证的不等式中含有?及递推关系式中含有1?an?1这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列??n?，使an?tg?n，化简递推关系式。
证明：易知an?0，构建新数列??n?，使an?tg?n，?n??0,2???? ?2?则 an?1?tg2?n?1?1tg?n?1?1?cos?n?1??tgn?1
sin?n?122?1?tg? tg?n?tg?n?1，?n??n?1又 a0?1，a1?22因此，新数列??n?是以
?8 ，从而 ?1??8
?1为首项，为公比的等比数列。
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?1??n????2?n?1??8??2n?2考虑到当x?(0,?2)时，有 tgx?x。所以，an?tg2?2n?2??2n?2
注：对型如 1?an，1?an，
an?1?an都可采用三角代换。
1?anan?13 证明是整数
这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。
例3、设数列?an?满足a1?1，an?1?11 (n?N) an?2an求证：
2a?22n?N ?n?N,n?1?。
2a?22n分析 直接令bn?，转化为证明bn?N (n?N,n?1)
证明：构建新数列?bn?，令bn?2a?22n?0
则 an?2442?2a??2 ，n?122bnbn?1 8