发布时间 : 星期日 文章数列通项公式的十种方法(已打)更新完毕开始阅读31590d3a4431b90d6c85c76a
代入 an?12?11?222???a? 整理得 b?b4?2bnn?1nn?2?an??2??222从而 bn?bn?14?2bn?1 (n?3)
22222于是 bn?1?bn4?2bn?14?2bn?1?2bnbn?1?1?????????? (n?3)
2? bn?1?2bn?bn2?1?1? (n?3)
由已知，b2?4，b3?24，由上式可知，b4?N，b5?N，依次类推，bn?N (n?1)，即
2a?22n?N。
例4、设r为正整数，定义数列?an?如下： a1?1，an?1nan?2(n?1)2r? (n?N) 求证：
n?2an?N。
（1992年中国台北数学奥林匹克试题）
分析 把条件变形为?n?2?an?1?nan?2?n?1?比较an?1与 an前的系数及an?1与 an的足码，
2r考虑到另一项为2?n?1?，等式两边同乘以?n?1?，容易想到构新数列?bn?，使bn?n?n?1?an。
2r证明：由已知得?n?2?an?1?nan?2?n?1?
2r? ?n?1??n?2?an?1?n?n?1?an?2?n?1?2r?1构建新数列?bn?，bn?n?n?1?an
则b1?2，bn?1?bn?2?n?1?2r?1?bn?b1???bk?1?bk?
k?1n?1?21?22r?1?32r?1???n2r?1??? bn?N
? bn?2n ?2n2r?1??k2r?1?(n?k)2r?1
k?1n?1??2r?112r22r?122r2r ??n2r?1?C2k???C2r?1nk?C2r?1nr?1n?kk?1n?1??? n
bn
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又 bn?n?kk?1n2r?1??(n?1?k)k?12rn2r?1??k2r?1??n?1?k?k?12r?1n?2r?1?
????n?1?k?1?2r?112?C2?k?C2r?1?n?1?r?1?n?1?2r2r k2???C2r?1?n?1?k? ?n?1? | bn
? n?n?1? | bn，从而 an?N。
4 解决整除问题
一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列?an?满足a1?1，a2?3，对一切n?N，有
an?2??n?3?an?1??n?2?an，求所有被11整除的an的一切n值。
（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）
分析 变形递推关系式为an?2?an?1??n?2??an?1?an?，就容易想到怎样构建新数列了。 解：由已知an?2?an?1??n?2??an?1?an? 构建新数列?bn??n?2?, bn?1?an?1?an ?n?1? 则b2?2，bn?1??n?1??an?an?1???n?1?bn ?n?2?
? bn?nbn?1?n?n?1?bn?2???n?n?1??3b2?n! ?n?2? ? an?a1???an?an?1??1??bk??k!
k?2k?2k?1nnn从而a4?11?3，a8?11?4203，a10?11?367083，当n?11时，由于
10n?k!被11整除，因而
k?110an??k!??k!也被11整除。
k?1k?11所以，所求n值为n?4，8，及n?10的一切自然数。 5 证明是完全平方数
这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项an，问题也就迎刃而解了。
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例6、设数列?an?和?bn?满足a0?1，b0?0，且 ① ?an?1?7an?6bn?3 ?② ?bn?1?8an?7bn?4求证：an是完全平方数。
（2000年全国高中联赛加试题）
分析 先用代入法消去bn和bn?1，得an?2?14an?1?an?6?0，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令Cn?an?a，易求得a??证明：由①式得bn，bn?1 代入②得
?n?0,1,2,??
1。 2an?2?14an?1?an?6?0
化为?an?2???1?1??1???14a??a???n?1??n??0 2?2??2??构建新数列?cn?，cn?an?11，且c0?， 22117c1?a1???7a0?6b0?3???
222cn?2?14?cn?1??cn?0
由特征方程 ??14??1?0 得两根
2?1?7?43，?2?7?43
n所以 cn?m1?1?m2?n2
1?m?m?2??12当n?0，1时，有?
1?m7?43?m7?43?12?2?????解得：m1?m2?则 cn?1 417?434??n?n17?43 4?? 11
?12?34??2n?12?34??2n
nn211?2?3?2?3? 则an?cn?????24?????因为2?3????2?3? 为正偶数，所以，a是完全平方数。
nnn从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合
理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。
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