发布时间 : 星期一 文章第一章 函数极限与连续1更新完毕开始阅读31fe9f0da2161479171128da
unAunlimn??4） lim?? （B?0）
n??vlimvBnnn??特别提醒：四则运算法则的应用，是有前提的
其一，参与运算的每一项必须存在极限；否则就会出现类似于
limsinn1?lim?limsinn?0?limsinn?0的推理错误。
n??n??nn??n??n其二，参与运算的项数必须有限。 否则就会出现类似于
2n?12n?1lim?2?2???2??lim2?lim2???lim2 n??nn??nn??nnn?n??n? ?0?0???0?0
的计算错误。
其三，分母极限不能为零（即B?0）
当然如果两个数列都不收敛，它们的和、差、积、商有可能存在极限。 比如：un?n, vn?(?n)当n??时都没有极限，但它们的和的极限为0。 再比如：un?vn?(?1)是发散的，但un?vn?1是收敛的。 例6 求lim?解 因为limn22?k2??3? （k为常数）
n??nn??k2k2?0, lim3?0, 所以，lim(?3)?0?0?0。 n??nn??nn??nn12n例7 求lim(2?2?...?2)。
n??nnn解 上面已经提到，此题就不能直接用四则运算和差的法则，注意到
(1?n)n 212n1?2?3?...?n(1?n)n1所以lim(2?2?...?2)=lim?lim? 22n??nn??n??2nnn2n1?2?3?...?n?例8 求lim?n??111??...?1?22?3n(n?1)?
解 此题也不能直接用性质或运算法则,要进行拆项处理，
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因为
111111111 ??, ??, ??1?2122?323n(n?1)nn?1111??...?1?22?3n(n?1)所以有lim?n???=lim(1?n??1)?1 n?1n2?5n?2例9 求lim
n??2n2?3解 因为lim(n?5n?2)??, lim(2n?3)??，它是
n??n??22?未定型， ?所以不能直接用商的运算法则进行计算，若用n同除分子分母，则有
2 limn?5n?2=lim2n??n??2n?32221?52?2nn?1 322?2n例10 求lim(n?n?n?2)
n??解 这是“???”未定型，不能用差的运算法则，像这样含有根式的求极限，通常情况下是用分子有理化的方法。 lim(n?n?n?2)=limn??22(n2?n?n2?2)(n2?n?n2?2)n?n?n?222n??
=limn?2n?n?n?222n??
=
1 2总结：通过以上几个例题就可以看出，计算数列的极限没有固定的方法，要根据题目本身的特点，相应找到解决它的办法。这里不仅要掌握极限的基本概念和性质，同时还需要一定的技巧。在以后函数的极限中还会继续介绍它的技巧和方法。
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第三节 函数极限
数列作为定义在自然数集上的函数，我们讨论了它的极限，即自变量无限增大时，相应的函数值（即相应项的值）的变化趋势；因为数列中的自变量是离散变量，对于函数中连续的自变量而言，我们是否同样可以讨论当自变量连续趋近某个数值时，函数的变化情况呢？这就是我们这节要讲的内容。
一、自变量趋于无穷时的极限 1 x?+?时的极限
为了和数列的极限相对应，我们先给出自变量趋于正无穷时极限定义。 定义1 若存在常数M>0，函数f(x)在x>M时有定义，当自变量x沿x轴正方向无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当x趋向正无穷大时以A为极限，记作limf(x)= A 或f(x)?A, x???。
x???例如： lim1?1??0 ， lim?1??=1， lim2?x=0，
x???x???x???xx??这个概念描述的是当自变量朝正无穷远方向变化时，相应的函数值趋近于某个常数的变化趋势。当然，不是所有的函数都有这种性质，比如函数f(x)=x+1，可以看到，当自变量x朝正无穷远方向变化时（即x?+?），相应的函数值f(x)=x+1也随之无限增大，不会趋于任何常数，因此这个函数在x趋于正无穷大时没有极限。
2 x???时的极限
定义2 若存在常数M>0，函数f(x)在x< ?M时有定义，当自变量x沿x轴负方向无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当
x趋向负无穷大时以A为极限，记作limf(x)=A或f(x)?A, (x???)。
x???例如 lim1??0 lim?1?x???x???x?1?2x?0 ?=1， xlim???x?19
3 x??时的极限
定义3 若存在常数M>0，函数f(x)在 x >M时有定义，当自变量无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当x趋向无穷大时以
A为极限，记作limf(x)=A或f(x)?A, (x??)。
x??例如 lim111?0 lim(1?)=1， 而lim?0。 2x??xx??x??x1?x前面介绍了自变量以三种个不同的方式无限远离原点时的函数极限，它们之间有
何关系呢？
定理1 limf(x)=A的充分必要条件是：limf(x)?limf(x)?A
x??x???x???limf(x)=A的几何解释：
x??在xoy平面上，对于任给的两条直线y?A??与y?A??（其中?>0），可找到两条直线x = M和x = -M，使得这两条直线外侧的函数曲线y =f(x)完全落在
y?A??与y?A??两条直线之间。(如图1-13)
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y?A??y?Ay?A??x??M图 1-13
x?M