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排列组合与二项式定理
一. 教学内容：
排列组合与二项式定理
二. 重点、难点：
1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能应用它们分析和解决一些简单的排列、组合应用题。
2. 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，熟悉组合数的两个性质，并会简单应用。
3. 掌握排列、组合以及混合应用问题的一般处理方法：先分类、再分组；先组合后排列。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并会应用它们计算和证明一些简单问题。
三. 知识串讲： （一）排列、组合 知识结构
?排列数公式分类计数原理???性质1?—?分步计数原理??组合数公式—??性质2?
1. 分类计数原理、分步计数原理
???—应用??
分类计数原理：各类相互独立，不重不漏，完备无缺。 分步计数原理，各步相互关联，缺一不可。 2. 排列、组合的概念
排列与元素顺序有关，组合与元素顺序无关。
分辨方法：将两元素交换位置后看是否为同一结果，如：车票与票价。 3. 排列数、组合数公式
n!mmmAn?n?n?1??n?2???n?m?1???CnAm????????????n?m?!m个因数
An?n!，规定0!?1
Cmnn?Anmm
Am0?n?n?1???n?m?1?m?m?1??3·2·1?n!m!?n?m?!
规定Cn?1 4. 组合数性质 （1）Cn?Cnmn?m
（2）Cn?Cn 其它性质：
mm?1?Cn?1
m （3）n·n!??n?1?!?n!
（4）n?1n!?1
?n?1?!nn?n?1?!
nn?1 （5）Cn?Cn?1?Cn?2????Cn?m?Cn?m?1 （6）Cn?Cn?1?Cn?2????Cn?m?Cn?m?1 5. 排列、组合的应用题
基本类型：
（1）排列：排队，组成数字。
带附加条件如：在与不在，邻与不邻，顺序一定等。 （2）组合：选代表，产品抽样，分配任务等。 带附加条件，如：含与不含，至多，至少等。
（3）分组、分配问题：有均分与不均分，指定人与未指定人，相同元素与不同元素等。 （4）综合型：如先选后排型。 设计方案：
认真审题，考虑是否按元素的性质需要分类，按事件发生过程需要分类，元素较少时可用图表或树图将所有情况一一列出，元素较多时，可从元素少的情况出发，（根据“对称性”）探索一般规律。 方法的选择：
?不带附加条件?直接法??从特殊元素入手（定元法）带附加条件???从特殊位置入手（定位法） ?
间接法：全集减去补集（正难则反）。
012mmn
（二）二项式定理 1. 二项式定理
(a?b)n?Cna?Cnar0n1n?1b?Cnar2n?2b???Cna2rn?rb???Cnbrnn?n?N?
* 通项公式：Tr?1?Cnan?rb(r?0，1，?n)
2. 二项展开式的结构与特征 （1）项数：共n＋1项
（2）系数：Cn(r?0，1，2，?n)为第r?1项的二项式系数。
r （3）指数：a的次数从n起逐项减1直到0；b的次数从0起逐项加1直到n。 a与b的次数之和等于n。 3. 二项式系数的性质
（1）等距性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 即：Cn?Cnrn?r
n （2）所有二项式系数之和等于2 即：Cn?Cn???Cn?2
（3）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2 即：Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2 （4）最值性：
当n为偶数时（展开式有n+1项），n+1为奇数。此时仅中间一项即第n024135n?1n?101nn
n2?1
项的二项式系数Cn2最大；
当n为奇数时（n?1为偶数），此时中间两项即第n?1n?1n?12，n?12?1项的二项
式系数Cn2，Cn2最大。
当n较小时，可以用杨辉三角求二项式系数。
注意：区别二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数。 4. 二项式定理的应用
（1）求二项展开式中的某指定项或其系数； （2）求二项展开式的各项系数之和； （3）近似计算问题；
（4）证明一些简单的组合恒等式； （5）有关整除和余数问题。
【典型例题】
例1. a、b、c、d、e排成一排，依下列条件各有多少种排法？ （1）a必须排在首位或末位； （2）a排在首位但b不排在末位； （3）a、b、c相邻； （4）a、b不相邻。
解：（1）本问题可分两步进行，先在首末选一个位置将a排上，有A2种方
1法；然后在余下的四个位置排字母b、c、d、e有A4种方法。由分步计数原理， 得：A2A4?48（种）排法。
144 （2）按先排a，再排b，最后排c、d、e进行，共有A1A3A3?18（种）排 法。
（3）a、b、c相邻，可用“捆绑法”，先将a、b、c看做一个元素，与其余两个
元素全排列，然后a、b、c之间再全排列，共有A3A3?36（种）排法。
33113 （4）a、b不相邻，可用插空法，先将c、d、e全排列后，有四个空位，再排a、
b，共有A3A4（种）排法。
32 说明：对“在与不在”问题常优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置；对“邻与不邻”问题则常使用“捆绑法”及“插空法”。
例2. 从6名短跑运动员中选4人参加4×400米接力赛（每人跑一棒），如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方案？ 解法一：（直接法） 将问题分成三类：
（1）甲、乙二人均不参加，有A4种；
（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2A3A4种； （3）甲、乙二人都参加C4A4?2C4A3?C4A2种。
（2C4A3为甲跑第一棒或乙跑第四棒，这里将甲在第一棒，乙跑第四棒的
情况减去两次，故再“还回”一次，即再加上C4A2）
2223242322134 ∴共有A4?2A3A4?C4A4?2C4A3?C4A2?252（种） 解法二：（间接法）
A6?2A5?A4?252（种） 说明：本题用间接法比直接法简捷。
例3. 将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田里不能种植同一作物，不同的种植方法共有___________种。（以数字作答）
432413242322