发布时间 : 星期三 文章功率受限注水定理更新完毕开始阅读325543155f0e7cd184253643
功率受限“注水”定理
1“注水”定理阐述
“注水”定理适用于如下情形：
1. 1信道条件
信道输入平稳随机序列X?X1,X2,?XN，输出的平稳随机序列Y?Y1,Y2,?YN，噪声序列为n?n1,n2,?nN为零均值的高斯加性噪声。定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻?i?1,2,?N?上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的P,2,?N?的高斯噪声，且各分量统计独立。 ni?i?11. 2约束条件
当且仅当信道输入平稳随机序列X?X1,X2,?XN中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的P,2,?N?的高斯噪声时，信道容量为： ni?i?1C?maxI?X;Y??Psi1n ??log2?1??Pn2ii? ?? (1.1)??1. 3“注水”定理
?N2?各个输入信号的总体平均功率E??Xi? 受限，因此存在一个约束条件为
?i?1??N2?P?E??Xi? (1.2)
?i?1?要计算C?maxI?X;Y?，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。 引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数
JPs1,Ps2,?PsN???Psi1n??log2?1??Pn2ii?n?????Psi (1.3) ?i?2X其中Psi?E??i??为各个时刻的信号平均功率，?为参数，即拉格朗日乘子，对辅助
函数JPs1,Ps2,?PsN逐一求Psi的导数，使之等于零：
???JPs1,Ps2,?PsN?Psi即得到：
???0 ?i?1,2,?N? (1.4)
11???0 ?i?1,2,?N? (1.5)
2Pni?PsiPsi??1?Pni?v?Pni (1.6) 2?其中v为常数，由于式（1.6）中的Psi可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率Pni大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。只能令Psi为大于等于零的数，故选取
Psi?v?Pni而常数v由约束条件求得为
???? (1.7)
?N2??N?P?E??Xi????v?Pni? (1.8)
?i?1??i?1?最终可得信道容量为
?v?Pni1?C???log21??2iPni?n????? (1.9) ??“注水”定理是说明，当N个独立并联的组合加性高斯白噪声信道，各分信道的噪声平均功率不相等时，为达到最大的信息速率，要对输入信号的总能量进行适当的分配。分配按式（1.9）进行。