发布时间 : 星期一 文章mathematica数学实验报告 实验二更新完毕开始阅读32739c6210661ed9ad51f3b7
数 学 实 验 报 告
实 验 二
学院：数学与统计学院班级：信息与计算科学姓名：学号：
(1)班 郝玉霞
201171020107
实验二
一、实验名称：π的计算
二、实验目的：首先在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率?的值，通过
实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率?的值。
三、实验环境：学校机房，Mathematica软件。 四、实验的基本理论和方法
1、用Mathematica绘图函数Plot绘制圆周率?；
2、计算圆周率?的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来计算圆周率?。
五、实验的内容和步骤及实验的结果和结果分析 步骤一、数值积分法计算?
因为单位圆的半径为1，它的面积等于?，所以只要计算出单位圆的面积，
就算出了?。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出?。 当n=5000时；
语句：
n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x);
s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; 实验结果：
3.1415926469231265718,3.141592653589793238462643343.14159265358979323846264338328
当n=10000时； 语句：
n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x);
s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n;
s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}] 实验结果：
3.1415926519231265718,3.141592653589793238462643383.14159265358979323846264338328
43210.20.40.60.8
图1 1/4个单位圆
结果分析：当数值积分法得到?的近似值为3.14159265358979323846264338328， 可以看出，用这种方法计算所得到的?值是相当精确的，n越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近?的准确值。 步骤二、泰勒级数法计算? 利用反正切函数的泰勒级数
2k?1x3x5k?1xa?nx?????(?1)?? arctx352k?1来计算?。
语句：T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}]; N[4*T[1,20000],20]//Timing
T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}]; Print[N[4*(T[1/2,260]+T[1/3,170]),150]]; Print[N[16*(T[1/5,110]-4*T[1/239,30]),150]]; Print[N[Pi,150]]
实验结果：
9.14Second,3.14164265108988693.14159265358979323846264338327950288419716939937510582494459230781640628620899862803482534211706798214808651230664709384460955058223172535940813
2.89054809346530980659035048572237571973428548091718877376781907690970580083540220107847652474250068362104652048128394634092219187032819003167814
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582494459230781640628620899862803482534211706798214808651230664709384460955058223172535940813
结果分析：从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当x=1时得到的arctan1的展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使x
11的绝对值小于1，最好是远比1小。例如，因为arctan1?arctan?arctan，所
2311以我们可以计算出arctan,arctan的值，从而得到arctan1的值。这样，就使得
23收敛速度加快。改进后可以看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。
步骤三、蒙特卡罗法计算?
在数值分析法中，我们利用求单位圆的1/4面积来得到?/4，从而得到?。单位圆的1/4是一个扇形，它是边长为1的单位正方形的一部分，单位正方形的面积S1?1。只要能够求出扇形的面积S在正方形的面积中所占的比例k?S/S1，就能立即得到S，从而得到?的值。下面的问题归结为如何求k的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理就是
在正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。降落在扇形内的点的个数m与所投店的总数n的比可以近似的作为k的近似值。 语句：
n=10000;p={}; Do[m=0;
Do[x=Random[];y=Random[]; If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[4m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 实验结果：
3.1528,3.1472,3.1276,3.134,3.1384,3.1516,3.1424,3.1664,3.1436,3.1
3.14668
结果分析：
从运行结果来看，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，虽然精确度不太高，但运行时间短，在很多场合下，特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的。 步骤四、针对步骤三提出疑问：步骤三中我们发现当n=10000时，蒙特卡罗法的计算结果为3.14668，精确度不太高，那么对n取不同的值，所得结果的精确度