发布时间 : 星期五 文章2019届高考数学二轮复习专项二 专题四 3 第3讲 专题强化训练 含解析更新完毕开始阅读327e29e474eeaeaad1f34693daef5ef7ba0d12ea
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=22,BC=42,PA=2.
(1)求证:AB⊥PC;
(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小
为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
解:(1)证明:由已知得四边形ABCD是直角梯形,由AD=CD=22,BC=42,可得AB=AC=4,
所以BC2=AB2+AC2,
所以∠BAC=90°,即AB⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB, 又PA∩AC=A,
所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥PC. (2)存在,理由如下:
取BC的中点E,则AE⊥BC,以A为坐标原点,AE,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(22,22,0),D(0,22,0),P(0,0,2),B(22,-22,0),
→→
PD=(0,22,-2),AC=(22,22,0). →→
设PM=tPD(0 则点M的坐标为(0,22t,2-2t), → 所以AM=(0,22t,2-2t). 设平面MAC的法向量是n=(x,y,z), →?AC=0,?n·则? →?AM=0,?n· ?22x+22y=0,即? ?22ty+(2-2t)z=0, 2t 令x=1,得y=-1,z=, 1-t2t?? 则n=?1,-1,?. 1-t?? 又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量, |m·n| 所以|cos〈m,n〉|= |m||n| = ?2t??t-1???2 =, 222t?? 2+???t-1? 1 解得t=,即点M是线段PD的中点. 2 此时平面MAC的一个法向量n=(1,-1,2), → 又BM=(-22,32,1). 设BM与平面MAC所成的角为θ, 4226→ 则sin θ=|cos〈n,BM〉|==. 92×3326 故BM与平面MAC所成角的正弦值为. 9