发布时间 : 星期一 文章2018全国高考II卷理科数学试题及答案解析更新完毕开始阅读32a48df3f41fb7360b4c2e3f5727a5e9856a273b
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为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型①：
．
；根据2010年至2016
）建立模型②：
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得
;..
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到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点19. 设抛物线
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】(1) y=x–1,(2)
【解析】分析：(1)根据抛物线定义得
或
．
，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入
求参数.
的直线与交于，两点，
．
的焦点为，过且斜率为
求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由
得
．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即
．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
;..
..
或
点睛：确定圆的方程方法
．
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 20. 如图，在三棱锥
（1）证明：（2）若点在棱
中，平面
；
为
，求
与平面
所成角的正弦值．
，
，为
的中点．
和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于
的方程组，从而求出
上，且二面角
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果. 详解：（1）因为连结且由由
.因为，
知知
. . 平面
.
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系
.
，为，所以
的中点，所以
，且
.
为等腰直角三角形，
（2）如图，以为坐标原点，
;..
..
由已知得设设平面由
，则
的法向量为
得
.
，可取.
取平面的法向量.
，
所以.由已知得.
所以.解得（舍去），.
所以所以
与平面
.又，所以.
所成角的正弦值为.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 21. 已知函数
（1）若（2）若
．
，证明：当在
时，
；
只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
;..