发布时间 : 星期四 文章2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题3-1导数的概念及其运算（讲）更新完毕开始阅读3321388bce84b9d528ea81c758f5f61fb73628ab
专题3.1 导数的概念及其运算
1.了解导数概念的实际背景；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
1
3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；
x
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数；
5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 6.了解微积分基本定理的含义。
知识点1．导数的概念
→0 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率liΔxm
Δy
→0 ＝liΔxm
Δx
f?x0＋Δx?－f?x0?Δy
→0 ＝liΔxm→0 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝liΔxm
ΔxΔxf?x0＋Δx?－f?x0?
。
Δx
【特别提醒】函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－
x0)。
【特别提醒】曲线y＝f?x?在点P?x0，y0?处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′?x0?的切线，是唯一的一条切线。
→0 (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝liΔxm
f?x＋Δx?－f?x?
为f(x)的导函数。
Δx
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0。 知识点2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x 导函数 f′(x)＝n·xn1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x －f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x 知识点3.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
f′(x)＝axln a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ x?f（x）?′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0).
?[g（x）]2?g（x）?
知识点4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
知识点5.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(innb－a
＝1，2，…，n)，作和式∑f(ξi)Δx＝∑ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数
i＝1i＝1n叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?bf(x)dx，即?bf(x)dx＝
?a?a
在?bf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，
?a
x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
f(x) f(x)dx的几何意义 ??ab表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯f(x)≥0 形的面积 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯f(x)＜0 形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 知识点6.定积分的性质
(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数).
?a?a?a
?a
b(2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝?bf1(x)dx±?f2(x)dx.
?a?a
(3)?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a＜c＜b).
?a?c
知识点7.微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么?bf(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫
?a
??做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)?，即?bf(x)dx＝F(x)?)＝F(b)
?a?a?a
－F(a).
【特别提醒】
函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则?af(x)dx＝2?af(x)dx.
bb
?－a?－a
?0
(2)若f(x)为奇函数，则?af(x)dx＝0.
考点一 导数的运算
【典例1】 (2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________. 1
【解析】由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.
x【答案】e 【方法技巧】
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 三角形式 分式形式 根式形式 对数形式 先展开化为多项式形式，再求导 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 先化为分数指数幂的形式，再求导 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【变式1】（湖北省华中师范大学第一附属中学2018-2019学年期中）设f0(x)?sinx，f1(x)?f0?(x)，
f2(x)?f1?(x)，…，fn?1(x)?fn?(x)，n?N，则f2019(x)?( )
A．?sinx 【答案】C
【解析】f1?x??cosx，f2?x???sinx，f3?x???cosx，f4?x??sinx， 因此f4t?3?x??f3?x???cosx，故f2019?x??f4?504?3?x??f3?x???cosx，故C。 考点二 导数的几何意义及其应用
【典例2】【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线y?ae?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ）
A．a?e，b??1 C．a?e?1，b?1 【答案】D
【解析】∵y??ae?lnx?1,
∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1， 将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1. 故选D。
【举一反三】【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线y?3(x?x)e在点(0， 0)处的切线方程为____________．【解析】y??3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e, 所以切线的斜率k?y?|x?0?3，
则曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为y?3x，即3x?y?0． 【答案】3x?y?0 【方法技巧】
1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2xx2x2x2xxxB．sinx
C．?cosx
D．cosB?cosC?1 4
B．a=e，b=1 D．a?e?1，b??1