发布时间 : 星期四 文章第4讲 幂函数与二次函数更新完毕开始阅读332d227c7275a417866fb84ae45c3b3567ecdd3c
第4讲 幂函数与二次函数
一、选择题
1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 C.－1，3
B.－1，1 D.－1，1，3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3. 答案 A
2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A.a>0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0
B.a<0，4a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为b
x＝2，即－2a＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A
1
3.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋a的图象可能是( )
1
解析 若a<0，由y＝xa的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋a的图象知应选1
B；若a>0，y＝xa的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋a的图象均不适合，综上选B.
答案 B
4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数f（x）
g(x)＝x在区间(1，＋∞)上一定( ) A.有最小值 C.是减函数
B.有最大值 D.是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a在(－∞，1)上有最小值，且f(x)关于x＝a对称，∴a<1，a
则g(x)＝x＋－2a(x>1).
x
若a≤0，则g(x)在(1，＋∞)上是增函数， 若0 a 综上可得g(x)＝x＋x－2a在(1，＋∞)上是增函数. 答案 D 5.若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，－2) C.(－6，＋∞) B.(－2，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)， 所以f(x) 3?2?3?1?3 6.已知P＝2－2，Q＝?5?，R＝?2?，则P，Q，R的大小关系是________. ????3?2?3212?2?3??解析 P＝2－2＝，根据函数y＝x是R上的增函数，且2>2>5，得???2??2? 3?1?3?2?3 >?2?>?5?，即P>R>Q. ????答案 P>R>Q 7.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝是________. 解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝ 1x＋1 在(－1，＋∞)上为减函数， ax＋1 a 在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围x＋1 ∴由g(x)＝在[1，2]上是减函数可得a>0， 故0 1?? 8.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈?－2，－2?时， ??n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________. 解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2， 1?? －2，－?∵x∈， 2??? ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1. 答案 1 三、解答题 9.已知幂函数f(x)＝x －12 (m＋m) (m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并 求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围. 解 幂函数f(x)的图象经过点(2，2)， ∴2＝2 －12 (m＋m) ，即22＝2 1 －12 (m＋m) . ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N，∴m＝1.∴f(x)＝x2， 则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数. * 1 ?2－a≥0， 由f(2－a)>f(a－1)得?a－1≥0， ?2－a>a－1， 3?3?1，?解得1≤a<2.∴a的取值范围为. 2???10.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 3 对称轴x＝－2∈[－2，3]， 21?3?99 ∴f(x)min＝f?－2?＝4－2－3＝－4， ???21? f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为?－4，15?. ??(2)对称轴为x＝－①当－ 2a－1 2. 2a－11 ≤1，即a≥－22时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 1 ∴6a＋3＝1，即a＝－3满足题意； ②当－ 2a－11 >1，即a<－22时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意. 1 综上可知，a＝－3或－1. 11.(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件