发布时间 : 星期四 文章高中数学经典题汇编[1]更新完毕开始阅读33ae0e33e97101f69e3143323968011ca200f771
1111sin4??cos4??2sin2?cos2??222(a?)(b?)?(sin??)(cos??)?absin2?cos2?4sin22?4?2sin22??16?25?22(4?sin?)?16?22??sin2??1,?4?sin2??4?1?3.?114sin22???sin22?4?(4?sin22?)2251125??即得(a?)(b?)?.4ab44sin22?
【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点. 【练
31】（2002
北京文）数列
?x?由
n下列条件确定：
x1?a?0,xn?1?1?a????x?,n?N n?2?xn??（1） 证明：对于n?2总有xn?a,（2）证明：对于n?2，总有xn?xn?1. 【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。
例32、已知二次函数f(x)满足f(?1)?0，且x?f(x)?12(x?1)对一切实数x2 37
恒成立. (1)求f(1)； (2)求f(x)的解析式；(3)求证：
?i?1n12n?(n?N). f(k)n?2【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。 解：（1）由已知令x?1得： 1?f(1)?12(1?1)?1?f(1)?1. 2（2）令f(x)?ax2?bx?c(a?0)由f(?1)?0,f(1)?1得：
111112?a?b?c?02?b?,c??af(x)?ax?x??ax?f(x)?(x?1)即则?22222?a?b?c?11?21?ax?x??a?0对任意实数x恒成立就是 ?对任意实数恒成立，即： 22?(1?2a)x2?x?2a?0??a?0,1?2a?0?12111211???1?(2a?)?0?a?,c?则f(x)?x?x?
244424?2???2?(4a?1)?0（3）由（2）知f(x)?1441??(x?1)2 故 2f(k)(k?1)(k?1)(k?2)4n111111111?4(????L??)?? ?4(?)?
2334n?1n?2k?1k?2i?1f(k)?2n故原不等式成立． n?2【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思
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想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
【练32】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c(a,b,c?R)，满足f(?1)?0；且对任意实数x都有f(x)?x?0；当x?(0,2)时有
(x?1)2f(x)?,（1）求f(1)的值；（2）证明a?0,c?0;（3）当x?[?1,1]时，
4函数g(x)?f(x)?mx(m?R)是单调的，求证：m?0或m?1. （1）f(1)?1.（2）运用重要不等式（3）略
【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。
例33、记f?x??ax2?bx?c，若不等式f?x??0的解集为?1,3?，试解关于t的不等式f?t?8??f?2?t2?。
【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程ax2?bx?c?0的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在?2,???上是增函数。
解析：由题意知f?x??a?x?x1???x2??a?x?1??x?3?，且a?0故二次函数在区间?2,???上是增函数。又因为8?t?8,2?t2?2，故由二次函数的单调性知不等式f?t?8??f?2?t2?等价于8?t?2?t2即t?2t?6?0故t?3即不等式的解为：?3?t?3。
【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。
【练33】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于x的不等式
log2(x?1)?log4[a(x?2)?1] (a?1)
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答案：当1?a?2时，解集为{x|2?1?x?a或x?2}当a?2时，解集为a31{x|x?且x?2} 当a?2时解集为{x|2??x?2或x?a}。
2a（2） （2005全国卷Ⅱ）设函数f?x??2|x?1|?|x?1|,求使f?x?≥的22的x取值范
围。
3答案：x取值范围是[,??)
4【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。 例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求xn?1与xn的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n?N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。
【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，
【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为
cx2n因此xn?1?xn?axn?bxn?cx2n即xn?1?xn?a?b?1?cxn?n?N*。
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n?N*，从而由上式得
xn?a?b?cxn?恒等于零, n?N*故a?b?cx1?0即x1?a?b 因为x1>0，所以c40