发布时间 : 星期日 文章2019-2020学年人教A版数学必修2限时规范训练：2.3.1直线与平面垂直的判定 Word版含解析更新完毕开始阅读340bd3c1cad376eeaeaad1f34693daef5ef7132b
第二章 2.3 2.3.1
【基础练习】
1．(2019年江西抚州校级月考)下面四个命题： ①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A．①② C．②③ 【答案】C
【解析】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选C．
2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( ) A．有且只有一个 C．有一个或无数个 【答案】B
【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30° C．60° 【答案】C
1
【解析】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以
2∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．
B．45° D．120° B．至多一个 D．不存在 B．①④ D．③④
4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( ) A．垂直且相交 C．垂直但不相交
B．相交但不一定垂直 D．不垂直也不相交
【答案】C
【解析】如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.又BD，AC异面，故选C．
5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________．
【答案】外心
【解析】P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
6．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
【答案】4
【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴四面体P－ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC，共4个．
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. 【证明】如图，连接AC，则AC⊥BD.
∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC. ∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C. 同理可证BC1⊥A1C.
又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D， ∴A1C⊥平面BC1D.
8．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
【解析】因为BM＝5，MA＝3，AB＝4， 所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB.
因为MA⊥AC，AB，AC?平面ABC，AB∩AC＝A， 所以MA⊥平面ABC.
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角． 53因为∠MBC＝60°，所以MC＝.
2MA323
所以sin∠MCA＝＝＝. MC535
2
【能力提升】
9．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的( )
A．外心 C．垂心 【答案】C
【解析】易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．
10．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD且PA＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A．30° C．60° 【答案】C
【解析】如图，连接AC.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．
B．45° D．90°
B．内心 D．重心
∵AC＝2，PA＝6，∴tan∠PCA＝
PA6
＝＝3.∴∠PCA＝60°. AC2
11．(2019年重庆模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【答案】D
【解析】因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD.再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD.而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而AC垂直于SB，A正确．因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD，B正确．设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等，C正确．AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等，D错误．故选D．
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：PD⊥平面ABM；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．
【解析】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB?平面ABM，BM?平面ABM，∴PD⊥平面ABM. (2)由(1)知AM⊥PD.
又PA＝AD，则M是PD的中点． 在Rt△PAD中，AM＝2. 在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3. 可证AM⊥平面PCD，则AM⊥MC， 16∴S△ACM＝AM·MC＝. 22
设点D到平面ACM的距离为h，由VD－ACM＝VM－ACD， 1116得S△ACM·h＝S△ACD·PA，解得h＝. 3323
h63设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sin θ＝＝，∴cos θ＝. CD33∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为
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