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12.4.2 坐标系之间的空间变换矩阵
设单位矢量v在坐标系o'xyz中的投影分别为vx、vy和vz；矢量P在坐标系OXYZ中的投影分别为PX，PY和PZ；x轴在坐标系OXYZ中X、Y和Z上的投影分别为txX、txY和txZ；y轴在坐标系OXYZ中X、Y和Z上的投影分别为tyX、tyY和tyZ；z轴在坐标系OXYZ中X、Y和Z上的投影分别为tzX、tzY和tzZ。
txX、txY和txZ的表达式分别为txX＝cos(x，X)，txY＝cos(x，Y)，txZ＝cos(x，Z)，其余的关系式类推。 为此，连杆坐标系o?xyz相对于固定坐标系OXYZ的位姿为
为了计算机求解方便，将上式改写为齐次坐标形式 ω2、中心轮3的角速度ω3分别为
结合图12.19(a)与式(12.26)、式(12.27)～式(12.29)得传动比i1H为
13.4.3 目标物体的齐次坐标表示
在如图13.13(a)所示的坐标系OXYZ中放置一个楔块，在楔块上设置坐标系oxyz，其上的特征点为A1，A2，A3，A4，A5和A6。这些特征点在自身坐标系oxyz中的坐标分别为A1（1,0,0），A2（－1,0,0），A3（－1,0,2），A4（1,0,2），A5（1,4,0），A6（－1,4,0）。
由图13.13(b)也可以得到坐标系OXYZ在坐标系oxyz中的齐次坐标。
已知X轴的方位为[0,0,1,0]， Y轴的方位为[1,0,0,0]， Z轴的方位为[0,1,0,0]，坐标系OXYZ的原点O在坐标系oxyz中的位置为[0,0,－4,1] 。
为此，坐标系OXYZ在坐标系oxyz中的位姿矩阵T[XYZ→xyz]为
12.4.4 刚体的空间位移矩阵
在如图13.14所示的坐标系OXYZ中有一个连杆，连杆的初始位置用p1q1表示，终止位置用pq表示，p1点的位置矢量用R表示，连杆上的p1点沿一单位矢量u位移s，同时连杆绕矢量u转动φ角，现在确定q点相对于q1点的位置。
设已知p1=[p1X p1Y p1Z]T，q1=[q1X q1Y q1Z]T，则q=[qX qY qZ]T 的矢量表达式与矩阵表达式分别为