发布时间 : 星期四 文章（完整word版）最新数学分析知识点最全汇总更新完毕开始阅读347bd3edd3f34693daef5ef7ba0d4a7302766c8d
?有 |an?P?an|?? ?P?Z=3、 说明
a) Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题. b) Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.
c) Cauchy准则把??N定义中an与a的之差换成an与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.
例：如数列{an}满足|an?1?an|?q|an?an?1|（n?2,3,?）且0?q?1，证明数列{an}收敛.
证明：令|x2?x1|?c?0
|an?1?an|?q|an?an?1|?q2|an?1?an?2|?L?qn?1|x2?x1| ?|an?p?an|?|an?p?an?p?1|?|an?p?1?an?p?2|???|an?1?an|
?c(qn?p?2?qn?p?3???qn?1)?cqn?1(1?q???qp?1qn?1)?c
1?q1?qcln()?0??????0，c（不妨设），取N?[1?]，则当n?N时，1?qlnq对任给自然数p有 |an?pcqn?1?an|???.故由Cauchy收敛准则知数列
1?q 49
{xn}收敛.
例：证明数列 an?1????发散
??0?0，n0?N使得 |am?an|??0 证明：要证：对?N，必有m0?N，
00121n设m?n则|am?an|?111111????????? n?1n?2mn?1n?2n?(m?n)
?111m?nn??????1? mmmmm因此，如m?2n，则|am?an|?1?1/2?1/2
这样，对?0?1/2，不管N多大，如取n0?N?1，m0?2n0则m0?N，
n0?N且 |am0?an0|?1?n011?1??，这说明{an}不是一个Cauchy数m022列. 4、
应用
例5 证明: 任一无限十进小数 ??0. b1b2?bn? (0???1)的不足近似值所组成的数列
bb1bbbb, 1?22, ?, 1?22???nn, ? 收敛. 其中101010101010bi( i?1,2,?,9 )是0,1,?,9中的数.
证明： 令 an? an?p?an ?bb1b2?2???nn, 有 101010bn?pbn?1bn?29?11??????1?????? 10n?110n?210n?p10n?1?1010p?1? 50