发布时间 : 星期三 文章（完整word版）最新数学分析知识点最全汇总更新完毕开始阅读347bd3edd3f34693daef5ef7ba0d4a7302766c8d
（5）?邻域，??邻域，??邻域
； U(?)??x|x|?M?,（其中M为充分大的正数）
U(??)??xx?M?,U(??)??xx??M?
二 、有界集与无界集
1、
定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，
使得一切x?S都有x?M(x?L)，则称S为有上（下）界的数集.数；若数集S既有上界，又有下界，则M(L)称为S的上界（下界）称S为有界集.
闭区间?a,b?、开区间(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E??y y?sinx, x? ( ?? , ?? )?也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集.
( ?? , ?? ) , ( ?? , 0 ) , ( 0 , ?? )等都是无界数集,
?集合 E???y y?, x?( 0 , 1 )?也是无界数集.
??1x注：1）上（下）界若存在，不唯一；
2）上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集N???n|n为正整数?的有界性. 解：任取n0?N?，显然有n0?1，所以N?有下界1；
但N?无上界.因为假设N?有上界M,则M>0，按定义，对任意
n0?N?，都有n0?M，这是不可能的，如取
则n0?N?，且n0?M. n0?[M]?（符号1?M?表示不超过M的最大整数）， 9
综上所述知：N?是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).
三 、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数?满足：(1) 对一切x?S,有x??（即?是S的上界）; (2) 对任何???，存在x0?S，使得x0??（即?是S的上界中最小的一个），则称数?为数集S的上确界，记作??supS.
从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.
命题1M?supE 充要条件 1）?x?E,x?M；
2）???o,?x0?S,使得x0?M??.
证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则??0?0,使得?x?E,均有x?M??o，与M是上界中最小的一个矛盾.
充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即?M0是上界，但M?M0.令??M?M0?0，由2），?x0?E，使得x0?M???M0，与M0是E的上界矛盾.
定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数?满足：（1）对一切x?S,有x??（即?是S的下界）；（2）对任何???，存在x0?S，使得x0??（即?是S的下界中最大的一个），则称数?为数集S的下确界，记作??infS.
从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.
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命题2 ??infS的充要条件：
1）?x?E,x??；
2）??＞0，x0?S,有x0＜???. 上确界与下确界统称为确界.
?(?1 )n?例3（1）S??1??,则supS? 1 ；infS? 0 .
n??（2）E??y y?sinx, x?(0,?)?.则supS? 1 ；infS? 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题3：设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一
的.
证明：设??supA，???supA且????，则不妨设????
??supA??x?A有x??
???supA?对????，?x0?A使??x0，矛盾.
例：supR??0 ，sup??n??n?1?1inf ，???? n?Z??n?1?2n?Z??n?1?E???5,0,3,9,11?则有infE??5.
开区间?a,b?与闭区间?a,b?有相同的上确界b与下确界a 例4设S和A是非空数集，且有S?A.则有supS?supA, infS?infA.. 例5设A和B是非空数集.若对?x?A和?y?B,都有x?y,则有
supA?infB.
证明：?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下
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界,? supA?infB.
例6A和B为非空数集,S?A?B.试证明:infS?min? infA , infB ?. 证明：?x?S,有x?A或x?B,由infA和infB分别是A和B的下界,有
x?infA或x?infB. ? x?min? infA , infB ?.
即min? infA , infB ?是数集S的下界,
? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下
界,infS是S的下界,? infS是A的下界,? infS?infA;同理有
infS?infB.
于是有infS?min? infA , infB ?. 综上,有infS?min? infA , infB ?.
1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做
解释.
2. 确界与最值的关系:设 E为数集.
（1）E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点. （2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.
（3）若maxE存在,必有maxE?supE.对下确界有类似的结论. 4. 确界原理:
Th1.1(确界原理).设S非空的数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.
这里我们给一个可以接受的说明 E?R,E非空，?x?E，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而p?1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2,?,p.9和p?1，我们可以找到一个q0，0?q0?9，使得p.q0不是E上界，p.(q0?1)是E上界，如果再找第二位小数q1，?,如此下去，
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