发布时间 : 星期二 文章（完整word版）最新数学分析知识点最全汇总更新完毕开始阅读347bd3edd3f34693daef5ef7ba0d4a7302766c8d
分析：要证两层结论：一是y?f(x)的反函数存在，我们只要证它
是 1-1 对应就行了；二是要证g(y)?f?1(y). 证 要证y?f(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到Y的 1-1 对应.
?x1，x2?X，若f(x1)?f(x2)， 则由定理条件，我们有
g(f(x1))?x1 g(f(x2))?x2
?x1?x2，即 f:X?Y 是 1-1 对应.
再证g(y)?f?1(y).?y?Y，?x?X，使得y?f(x). 由反函数定义 x?f?1(y)，再由定理条件
?1g(y)?g(f(x))?x.?g(y)?f(y)
例 f:R?R，若f(f(x))存在唯一（?|）不动点，则f(x)也?|不动点.
* * *f(x)?fx?f[f(x)]证 存在性，设，
?f[f(x *)]，
* * *f(x)?xf(x)f?f即是的不动点，由唯一性，
*即存在f(x)的不动点x.
唯一性： 设x?f(x)，x?f(x)?f(f(x))， 说明 x是f?f的不动点，由唯一性，x=x. 从映射的观点看函数.
*设函数y?f(x),x?D.满足：对于值域f(D)中的每一个值y，Ｄ中有且只有一个值x，使得f(x)?y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作
f?1:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).
３、注释
a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是Ｄ与f(D)之间的一个一一映射，称f?1为映射f的逆
y=f(x) y=f(x) 映射，它把
f(D)?Dy=f -1 (x) 0 0 21 ；
b) 函数f与f?1互为反函数，并有:f?1(f(x))?x,x?D,
f(f?1(x))?y,y?f(D).
c) 在反函数的表示x?f?1(y),y?f(D)中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f?1可以改写为
y?f?1(x),x?f(D).
应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.
六 、初等函数
1.基本初等函数（６类） 常量函数 y?C（Ｃ为常数）； 幂函数 y?x?(??R)； 指数函数y?ax(a?0,a?1)； 对数函数 y?logax(a?0,a?1)；
三角函数 y?sinx,y?cosx,y?tgx,y?ctgx；
反三角函数 y?arcsinx,y?arccosx,y?arctgx,y?arcctgx. 注：幂函数y?x?(??R)和指数函数y?ax(a?0,a?1)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.
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定义２．给定实数a?0,a?1，设x为无理数，我们规定：
?sup?ar|r为有理数?,当a?1时,? ax??r?xr?inf?a|r为有理数?,当0?a?1时.?r [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 1esinx?1,y?|x|. 如：y?2sinx?cosx,y?sin(),y?logax?2xx2x不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数. 注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点. 例２．求下列函数的定义域. （１） y?x； （２） y?ln|sinx|. x?13.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则 （1） f(x) 是初等函数, 因为 f(x) ??f(x)?2. （2）?(x)?max?f(x) , g(x)? 和 ?(x)?min?f(x) , g(x)?都是初等函数, 因为 ?(x)?max?f(x) , g(x)?? 1?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , 223 ?(x)?min?f(x) , g(x)? ?1?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? . 2（3）幂指函数 ?f(x)?g(x) ?f(x)?0?是初等函数,因为 ?f(x)? ［作业］ P15： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11 g(x) ?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x). §4具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数 教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语. 教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周 期函数的定义； 会求一些简单周期函数的周期. 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证. 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序： 引 言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数. 一、有界函数 1、有上界函数、有下界函数的定义 定义1设f为定义在D上的函数，若存在数M(L)，使得对每一个x?D有f(x)?M(f(x)?L)，则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下）界. 注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集； （2）又若M(L)为f在D上的一个上（下） 界，则任何大于 Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y?sinx，1是其一个上界，下界为 24