发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P更新完毕开始阅读347f2e08ae45b307e87101f69e3143323968f511
∴柱坐标为(1,0,5)． 答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________． 答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面 三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标． 解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
x＝ρcos θ，??
由变换公式?y＝ρsin θ，
??z＝z2
2
2
得
ρ＝1＋(－1)＝2，∴ρ＝2. －1
tan θ＝＝－1，
17π
又x＞0，y＜0，∴θ＝. 4
?∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为?2，
?
7π
，3??. 4?
π??9．已知点M的柱坐标为?2，，1?，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
4??π??解：M?2，，1?的直角坐标为
4??
??
?y＝2sinπ4＝1，??z＝1，
2
2
x＝2cos＝1，
π
4
2
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ∵ρ＝(－1)＋(－1)＝2， －1
∴ρ＝2.tan θ＝＝1，
－1又x＜0，y＜0， 5π∴θ＝. 4
5 π?，－1?∴其柱坐标为?2，?. 4??
?∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为?2，
?
36
5π
，－1??. 4?
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
3222
则|BA′|＝33＝3，|AA′|＝3－?3?＝6，
23π
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，
3
π???π??π?则A?3，， 6?，B(0,0,0)，C?3，，0?，D?3，，0?. 362??????
37
2．球坐标系
球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x＝rsin φcos θ，??
?y＝rsin φsin θ，??z＝rcos φ.
将点的球坐标化为直角坐标 ?3ππ? 已知点P的球坐标为?4，，?，求它的直角坐标．
44??
直接套用变换公式求解． 由变换公式，得
x＝rsin φcos θ＝4siny＝rsin φsin θ＝4sinz＝rcos φ＝4cos
3ππ
cos＝2. 443ππ
sin＝2. 44
3π
＝－22. 4
∴它的直角坐标为(2,2，－22)．
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．求下列各点的直角坐标：
38
?ππ??3π7π?(1)M?2，，?；(2)N?2，，?.
63?46???
解：(1)由变换公式，得
π
6π6
π3π3
12
x＝rsin φcos θ＝2sincos＝， y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝z＝rcos φ＝2cos＝3.
3?1?
∴它的直角坐标是?，，3?.
?22?(2)由变换公式，得
π6
3， 2
x＝rsin φcos θ＝2siny＝rsin φsin θ＝2sinz＝rcos φ＝2cos
3π7π6cos＝－. 4623π7π2sin＝－. 462
3π
＝－2. 4
∴它的直角坐标为?－
??62?，－，－2?. 22?
2．将点M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标． 解：∵(r，φ，θ)＝(π，π，π)， ∴x＝rsin φcos θ＝0，
y＝rsin φsin θ＝0， z＝rcos φ＝－π.
∴点M的直角坐标为(0,0，－π).
将点的直角坐标化为球坐标 设点M的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解． 由坐标变换公式，可得
r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋?2?2＝2.
由rcos φ＝z＝2， 得cos φ＝2
r＝
2π，φ＝. 24
yπ
又tan θ＝＝1，θ＝(M在第一象限)，
x4
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