发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P更新完毕开始阅读347f2e08ae45b307e87101f69e3143323968f511
得圆的方程为x＋y＝2x， 即(x－1)＋y＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
|331＋430＋a|
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1， 223＋4 解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.
3
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，
1－2cos θ且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
2
2
22
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
333
ρ1＝，ρ2＝＝.
1－2cos θ11－2cos?θ1＋π?1＋2cos θ1|AB|＝|ρ1＋ρ2| ＝?∴
336??＝??， ＋2????1－2cos θ11＋2cos θ1??1－4cosθ1?1
＝±1， 2
1－4cosθ1
2. 2
∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
ππ3π
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝. 244
32
1．柱坐标系
柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为
Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用
有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x＝ρcos θ，??
?y＝ρsin θ，??z＝z.
将直角坐标化为柱坐标 设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． 由公式求出ρ，再由tan θ＝求θ.
yxx＝ρcos θ，??
由公式?y＝ρsin θ，
??z＝z，
2
2
2
得ρ＝x＋y，
222
即ρ＝1＋(3)＝4，∴ρ＝2. tan θ＝＝3，
π
又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝，
3
yx?π?∴点A的柱坐标为?2，，5?.
3??
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan
?π?θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P的柱坐标为?4，，8?，
3??
求它的直角坐标．
直接利用公式求解．
33
x＝ρcos θ，??
由变换公式?y＝ρsin θ，
??z＝zπ3
π3
得
x＝4cos＝2，y＝4sin＝23，z＝8.
∴点P的直角坐标为(2,23，8)．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ，??
?y＝ρsin θ，??z＝z
即可．
?π?3．点N的柱坐标为?2，，3?，求它的直角坐标．
2??
x＝ρcos θ，??
解：由变换公式?y＝ρsin θ，
??z＝z，
π
2
得
x＝ρcos θ＝2cos＝0，y＝ρsin θ＝2sin＝2，
故点N的直角坐标为(0,2,3)．
π2
?π?4．已知点A的柱坐标为(1，π，2)，B的柱坐标为?2，，1?，求A，B两点间距离．
2??
解：由x＝ρcos θ，得x＝cos π＝－1. 由y＝ρsin θ，得y＝sin π＝0. ∴A点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B点的直角坐标为(0,2,1)．
∴|AB|＝?－1－0?＋?0－2?＋?2－1?＝6. 故A，B两点间的距离为6.
课时跟踪检测(五)
一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( )
2
2
2
?π??2π??4π??5π?A.?2，，2? B.?2，，2? C.?2，，2? D.?2，，2?
3333????????
34
解析：选D ρ＝1＋?－3?＝2，tan θ＝－3， 又x>0，y<0，M在第四象限， 5π∴θ＝，
3
22
?5π?∴柱坐标是?2，，2?.
3??
?π?2．点P的柱坐标为?8，，2?，则点P与原点的距离为( )
4??
A.17 B．217 C．417 D．817
解析：选B 点P的直角坐标为(42，42，2)． ∴它与原点的距离为：
?42－0?＋?42－0?＋?2－0?＝217.
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z) C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z) 答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
2
2
2
?A.?2，?
3ππ5π7π??????，1? B.?2，，1? C.?2，，1? D.?2，，1? ?4444???????
5π??解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为?2，，1?.
4??二、填空题
?π?5．设点Μ的柱坐标为?2，，7?，则点Μ的直角坐标为________．
6??
π
解析：x＝ρcos θ＝2cos＝3.
6
y＝ρsin θ＝2sin ＝1.
∴直角坐标为(3，1,7)． 答案：(3，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x＞0，y＝0， ∴tan θ＝0，θ＝0. ρ＝1＋0＝1.
2
2
π6
35