发布时间 : 星期日 文章2016~2017上海金山区初三数学九年级期末试题及答案更新完毕开始阅读354cd21ff6ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8d8d
AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：∠ACE的度数为 75° ，AC的长为 3 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形． 【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得
=2，根据等腰三角
形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC， ∴AD=2DE， AE=AD+DE=3， ∴AC=AE=3，
∠ACE=75°，AC的长为3． 过点D作DF⊥AC于点F． ∵∠BAC=90°=∠DFA， ∴AB∥DF， ∴△ABE∽△FDE， ∴
=2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD． ∵DF⊥AC， ∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°， ∴DF=AFtan30°=∴AC=AD=2∴BC=
，AD=2DF=2
．
．
，AB=2DF=2=2
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．
23．（11分）（2016秋?唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC． （1）判断△PBC的形状，并简要说明理由；
（2）当t＞0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t的值？若不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△AOP与△APC相似？
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形．
（2）根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP2=2OB2，即t2=2（t2+1），求出符合题意的t的值，即可得出答案；
（3）根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当=
=
=时和
=时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可．
【解答】解：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下： ∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC， ∴PB=PC，
∵B是线段PA的中点， ∴∠BPC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形．
（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． ∵∠OBP=∠BPC=90°， ∴OB∥PC， ∵B是PA的中点， ∴OB=AP=BP=PC，
∴四边形POBC是平行四边形， 当OB⊥BP时，有OP=∴t2=2（t2+1），
∴t1=2，t2=﹣2（不合题意），
∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．
OB，即OP2=2OB2，
（3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°， 当
=
=时，
△AOP∽△APC， 此时OP=OA=1，
∴t=±1， 当
=
=时，
△AOP∽△CPA， 此时OP=2OA=4， ∴t=±4，
∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．
【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解．