发布时间 : 星期四 文章2014年数学建模国赛B题更新完毕开始阅读35518805773231126edb6f1aff00bed5b9f373fd
三、符号说明与问题假设
符号说明
符号
i
意义
桌腿最外侧向内的顺序描述 第i根桌角边缘线的长度 第i根桌腿的长度
平面时第i根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距
离
立体时第i根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距
离
第i根桌腿的卡槽长度 第i根桌腿底端到圆桌平面的高度
平板体积大小
xi si zi pi
Qi Hi
V
模型假设
1. 假设桌子的高度包括桌子的厚度。
2. 假设问题二中桌腿宽度为2.5cm，木板厚度为3cm。 3. 假设在此问题中，忽略钢筋自身的直径。
4. 假设桌脚与地面完全接触并且忽略各个木条间的缝隙。
四、模型建立与求解
问题一：模型建立
根据问题首先我们可以建立几何模型[1]对问题一进行求解。
（1）计算每根桌腿的长度
根据题目所给条件，组成桌腿的每根木条的宽度为2.5cm，另外，我们知道所给木板的宽度等于折叠后圆形桌的直径，即桌面直径为50cm，也就是说，该圆桌左右两边共有20根木条。
由于折叠后的圆桌关于平行于长方形木板的宽的一条直径对称，因此折叠桌的相关性质我们只需考虑圆桌的左半边或右半边，又由于，折叠后的圆桌的一边也是互相对称的，故本文中只以圆桌的1/4为研究对象，即只研究10根木条的相关变化趋势。
结合以上分析，我们做出折叠前的长方形木板的俯视图，并且以圆桌的圆心为坐标原点，以垂直于桌面的为z轴，平行于长方形宽的直径为y轴，垂直于该直径的为x轴，建立空间直角坐标系，如图1所示：
3
y x图1 空间直角坐标系
对于以上的坐标系，可以得到第i根木条宽度的中点落在y轴的坐标
yi?(?25,25)(i?1,2,3，由于每根木条的宽度相同，显然，yi为等差数列。 ,10由图1及已知条件可知，每根木条的宽度的中点在圆上，所以y1??23.75，
y2??23.75?2.5，??，yi??23.75?(i?1)?2.5
由于(xi,yi)位于圆周上，因此有xi2?yi2?252 将yi代入上述圆的方程中便可以得到xi的值
已知木板长120cm,即两边分别长60cm，则第i条桌腿长si?60?xi，因此，只需要求出各点在圆上的坐标即可求出各个腿长。 （2）计算每根桌腿的槽长大小
由于钢筋在旋转过程中不发生任何形变，因此，通过对折叠过程的分析可以知道，每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是53cm，厚度是3cm，所以实际桌高应该是50cm
因为钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以钢筋固定点到圆桌边缘的
s距离p1?1
2根据三角形相似和勾股定理可得，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高
h2度的距离l1，并且满足p??l12，由上式即可解出l1
421具体分析图如图2：
4
zxx1 y1
t l1 h x 图2 立体分析图
最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是
d1?l1?x1，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为d1，则li?d1?xi
平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离zi：zi?si?2s1 2h22立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi：pi??li
4每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示Qi?pi?zi （3）桌角边缘线的数学描述
由（2）求得立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离pi，每根桌腿钢条所在位距离圆桌的高度为
h，每根桌腿长为si，每根桌腿所在位置距离圆2桌的垂直高度为Hi，如图所示利用相似三角形原理，可得
pihsh即Hi?i ?pisi2Hipi Hi h 2
图3 每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度示意图
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为了研究桌角边缘线的相关形式，我们对Hi(i?1,2,的三维坐标进行多项式拟合，其形式如下：
z?a1x?a2x2?a3x3?,10)，即对桌角边缘点
?bnyn?c
?amxm?b1y?b2y2?b3y3?问题一模型求解
（1）由于桌腿的宽度为2.5cm，且圆形桌的直径等于木板的宽，即为50cm，所以以圆形桌两边对称，一边有20条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共10条桌腿。
根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的yi求解不同的圆桌边缘长
xi，进而利用si?60?xi,i?1,2,[2],10求得桌腿长。在MATLAB中进行编程得到
10条桌腿的长度分别为（单位：厘米）(具体程序见附录1)
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 si 52.19 46.83 43.46 41.00 39.12 37.67 36.58 35.79 35.28 35.03 表1 桌腿的长度表
因为桌高h?53?3?50cm,由表1可知最外侧的桌腿长为52.19cm，而最外侧桌腿一定与垂直方向存在夹角，故最长腿长度一定大于垂直高度，即52.19>50，所以所得结果符合题意。
（2）由题意可知立体时最外侧桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离sp1?1?26.0929
2h最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度?25，可以得到最外侧桌腿中
2h的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离l1?p12?()2?7.4865
2最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是
d1?l1?x1?7.8062根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通
过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在MATLAB中对10条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到10条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）(具体程序见附录2)
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Qi 0 4.35 7.66 10.36 12.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87 表2 桌腿卡槽长度表
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