发布时间 : 星期六 文章多元函数微分法及其应用习题及答案更新完毕开始阅读35a3a10a3086bceb19e8b8f67c1cfad6185fe913
第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，
?x?y?y?x?2z?2z?。 ?x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域
(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限
1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim
x?0(x2?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22
?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。
?x?y?x?y25．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。
dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
?x2?y2?z?8．曲线?4，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少
?y?4?x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。
abc10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。
11．设z?f?x,y?是由方程12．设xy?ey?ex，求
xz?z?z?ln确定的隐函数，求，。 zy?y?xdy。 dxz3?2z?z?z13．设z?f?x,y?是由方程e?z?xy?0确定的隐函数，求，，。
?x?y?y?x14．设z?yex?cosy，求全微分dz。
15．求函数z?ln?2?x2?y2?在点?1,2?的全微分。 16．利用全微分求
2?2.98?2??4.01?2的近似值。
17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。
x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面41919．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。
20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。 21．求函数f?x,y??e2x?x?y2?2y?的极值。
22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省
(B)
1．求下列函数的定义域
(1)z?arcsin?x?y??lnln?10?x?4y22?2??；(2)u?x2?y2?1
4?x2?y2y??2．(1)设f?x?y,??x2?y2，求f?x,y?，f?x?y,xy?。
x?? (2)设f?x,y??x?2y，求f?xy,f?x,y?? 3．求下列函数的极限
?2??(1)lim?1?22?x???x?y?y???2x2?y2??；(2) limex?0y?021x?y2?2?12sin?ex?y???? ???xy,当(x,y)??0,0??424．设f?x,y???x?y，问limf?x,y?是否存在
x?0?y?00,当?x,y???0,0???xsin?x?2y?,x?2y?x?2y5．讨论函数的连续性，其中f?x,y???。 ?0,x?2y??xy,?x,y???0,0??226．二元函数f?x,y???x?y在点?0,0?处：①连续，偏导数存在；
?0,?x,y???0,0??②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。
7．设z?1?x2y，求
??y?z?z，。 ?y?x?2f?f8．设u?f?2x?3y?2z?，求，2。
?x?x32?2f?f9．设u?f?2x,3y,2z?，求，。
?z?x?z3210．设z?xyf?x2?y2,x2?y2?，f可微，求dt。 11．设f?xy,y?z,xz??0，求
?z?z，。 ?y?x12．设zx?yz?0，求dzx?1。
y?1z?113．设z?f?rcos?,rsin??可微，求全微分dz。
14．设z?f?x,y?是由方程f?x?z,yz??0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由此求
?z?z和。 ?y?x15．求z?x2?y2??xy的偏导数。
?x?y?z?0dxdy16．设?2，求，。 22dzdz?x?y?z?117．设u?exyz?3u，求。
?x?y?z18．求函数u?xyz在点?5,1,2?处沿从点?5,1,2?到点?9,4,14?方向的方向导数。 19．求函数u?xx2?y2?z2在点M?1,2,?2?沿x?t，y?2t2，z??2t4在此 点的
切线方向上的方向导数。
6x2?8y2?20．求函数u?在点P处沿方向n的方向导数。
z21．判断题：(简单说明理由) (1)
?f?x,y?就是f?x,y?在?x0,y0?处沿y轴的方向导数。 ?y?x0,y0??f?f，存在，则沿任一方向l的方向导数均存?y?y (2)若f?x,y?在?x0,y0?处的偏导数在。
22．证明曲面x?y?z?4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。
23．证明：球面∑：x2?y2?z2?1上任意一点?a,b,c?处的法线都经过球心。 24．求椭球面3x2?y2?z2?16上的一点??1,?2,3?处的切平面与平面z?0的交角。 25．设u，v都是x，y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。
x2y2z227．求内接于椭球面??2?2?1的最大长方体的体积。
abc23232328．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入
R与报纸广告费x及电视广告费y(单位：万元)之间的关系有如下经验公式：
R?15?14x?31y?8xy?2x2?10y2，在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广
告策略。