发布时间 : 星期六 文章多元函数微分法及其应用习题及答案更新完毕开始阅读35a3a10a3086bceb19e8b8f67c1cfad6185fe913
分析：可依隐函数求导法则求出解；由y?f?x,t?，得
dy。 dxdy?f?fdt (1) ??dx?x?tdx由??x,y,t??0，得
????dy??dt?????0 (2) ?x?ydx?tdx将(2)代入(1)，得
?????dy???dy?f?f?x?ydx?? ??????dx?x?t?????t???f???f??? ??x?t?t?x。
?f??????t?y?t?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。
y?x?yx?t2解：对z?lnz??e?tdt?0两边关于x求导，得
y2?z1?z??e?x?0， ?xz?xx2?zze?x解得：? (1)
?xz?12 原式两边对y求导，得
2?z1?z??e?y?0 ?yz?y 解得
?z?ze (2) ??yz?1?y2(1)式两边对y求导得
?z?x2?x2?z??ez?1?ze2?2ze?x?z?y?y ??22?x?y?z?1??z?1??y22?2z?ze??x?y?以(2)式代入即得： ?3?x?y?1?z??x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222?x?y?z?u?v?1解：将u，v看作x，y，z的函数，将方程组对x求偏导，得
?1?ux?vx?0 (*) ??x?u?ux?v?vx?0解得ux?x?vu?x，vx? v?uv?u再将方程组(*)对x求偏导数，得
??ux2?vx2?0 ?22??1?ux?u?ux2?vx?v?vx2?0解得：ux2?x?v??u?x?1??????221?ux?vxv?uv?u???? ??v?uv?u?x?v??u?x?1??????221?ux?vxv?u??v?u?? ??u?vu?vax?by2222 vx26．设z?u?x,y?e?2u?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方，且
?x?y?2z?z?z???z?0。 程：
?x?y?x?y解：
?z?uax?by??u??e?aueax?by???au?eax?by， ?x?x??x?
??u?ax?by?z?uax?by?， ?e?bueax?by???bue???y?y??y??2z??2u?u?ax?by??u?ax?by????ae??au ??be???x?y??x?y?y???x???2u?ax?by?u?u??b?a?abu? ?? ?e?x?y?x?y????u?ax?by?u? ??， b?a?abue??x??y??代入方程得
??ax?by?u?u???????0 ?a?1y?y?b?1?x?ab?a?b?1u?e??故必须a?1，b?1。 7．证明：旋转曲面z?f证明：因为
?x22?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。 ?z??yyx?y22??z??xxx?y2f?，f?
所以，在?x0,y0,z0?处法线方程为：
x?x0x0x?y220?f?y?y0y0x?y22?f?z?z0 ?1当x?y?0时，z?z0?f?x?y?22x0?y02020?
22?x?y00即法线与旋转轴的交点为?0,0,z0?22??fx?y00?????。 ??8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
11????1?,,证明：设F?x,y,z??x?y?z?a，则n???，在曲面上任取2x2y2z????一点M?x0,y0,z0?，则在点M处的切平面方程为
1x0即
?x?x0??zz0yay01y0?y?y0??1z0?z?z0??0，
xx0?yy0xax0??x0?y0?z0?a，化为截距式，得
zaz0???1。
所以截距之和为
ax0?ay0?az0?a?x0?y0?z0?a。
?9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最
短距离。
解：设椭圆上点的坐标为?x,y,z?，则原点到椭圆上这一点的距离平方为
d2?x2?y2?z2，其中?x,y,z?同时满足z?x2?y2和x?y?z?1，令F?x,y,z??x2?y2?z2??1z?x2?y2??2?x?y?z?1?，由
???Fx?2x?2?1x??2?0,??Fy?2y?2?1y??2?0,的前两个方程知x?y。 ??Fz?2z??1??2?0,将x?y代入z?x2?y2和x?y?z?1得
z?2x2和2x?z?1，再由2x2?2x?1?0解得x?y??1?3，z?2?3，由题2意这种距离的最大值最小值一定存在，所以必在这两点处取得，因为
d2?x2?y2?z2
??1?3???2?32???2??2??2?9?53
所以d1?9?53为最长距离；d2?9?53为最短距离。
10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
解：
?f?f?f?cos??sin? ?l?x?y ??2x?y?cos????x?2y?sin?
?f?l?cos??sin?
?1,1?故所求的方向导数为cos??sin??0???2??
???5??f??f??? ????sin??cos?，令???0，得驻点??，
?l44?????l????f?因为????l?????4???cos??sin??????0，所以??4?4为极大值点。