发布时间 : 星期一 文章2020届内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)(有答案)(加精)更新完毕开始阅读35c561e75627a5e9856a561252d380eb63942330
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故选：A．
11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（ ） A． B．3 C． D． 【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径． 【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4． ∵圆M的面积为4π ∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=2
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ∴∠OMN=30°，
在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为． 故选：D．
12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ） A．?x∈R， ax2﹣bx≥axB．?x∈R， ax2﹣bx≤axC．?x∈R， ax2﹣bx≥axD．?x∈R， ax2﹣bx≤ax
﹣bx0 ﹣bx0 ﹣bx0 ﹣bx0
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．
=
∵a＜0，∴当x=时，
﹣
．
有最大值，∴
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=﹣．利用二次函
≤﹣bx0．
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∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是
≤
﹣bx0．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是 ． 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b． 【解答】解：双曲线的标准方程为则b2=，则b=
，即虚轴长2b=2×
==1， ，
故答案为：，
14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 70 种．
【考点】计数原理的应用．
【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．
【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4?C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42?5=30；不同的取法共有70种 故答案为：70． 15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 23，或105k+23（k为正整数）． ．（只需写出一个答案即可） 【考点】进行简单的合情推理．
【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．
【解答】解：我们首先需要先求出三个数：
第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15； 第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21； 第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；
然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．
最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）． 故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．
16．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n∈N*有an+1=
（
其中k为使an+1为奇数的
正整数）．a1=11时，a65= 31 ． 【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数列，故a65=a3+（6×10+2）=a5=31． 【解答】解：由an+1=
，且a1=11，
得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，
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，
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a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，
∴数列{an}从第三项开始是周期为6的周期数列． 则a65=a3+（6×10+2）=a5=31． 答案为：31．
三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知函数f（x）=
（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+
）的值；
，
．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+解得：sin（
+
）+，由f（a）=，
）的值．
）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+
（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=解a2+b2+c2=ab+bc+ca． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴f（a）==sin（∴
+
=2kπ+
+
）+，解得：sin（
+
=
sin+cos+=sin（+
）+，
，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得
）=1，
，k∈Z，解得：α=4kπ+）=tan
=﹣
，
，k∈Z，
∴tanα=tan（4kπ+
∴tan（a+）==0．
（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A， ∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，
将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA， 在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0， ∴cosB=，又0＜B＜π，则B=∵f（A）=∵0＜A＜π，∴+
=
=sin（+＜+
＜
，
）=
，
）+，解得：sin（+， ，C=π﹣A﹣B=
，
，解得：A=
∴a=b=c，
∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
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（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论． （Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M． ∵点F为PD中点， ∴
．
∵点E为AB的中点． ∴
，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形， ∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC， ∴直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）已知∠DAB=60°， 进一步求得：DE⊥DC， 则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（A（所以：
，﹣，0），B（
，，0）． ，
． ，． ，0，0），
设平面PAB的一个法向量为：∵
，
则：解得：
， ，
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