2009年高考试题 - 数学文(四川卷) 联系客服

发布时间 : 星期日 文章2009年高考试题 - 数学文(四川卷)更新完毕开始阅读35d0c42e915f804d2b16c11c

②若e是平面M上的单位向量,对a?V,设f(a)?a?e,则f是平面M上的线性变换;

③对a?V,设f(a)??a,则f是平面M上的线性变换;

④设f是平面M上的线性变换,a?V,则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④

【解析】①:令????1,则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题

同理,④:令??k,??0,则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③:∵f(a)??a,则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换,故③是真命题 ②:由f(a)?a?e,则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e

∵e是单位向量,e≠0,故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,突出创新能力

和数学阅读能力,具有选拔性质。

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)

在?ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且sinA?(I)求A?B的值; (II)若a?b?2?1,求a、b、c的值。

55,sinB?101055,sinB?1010

【解析】(I)∵A、B为锐角,sinA?∴ cosA?2

1?sinB?255?3101021?sinA?255,cosB?31010?55 ?1010?22.

cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B??

?∴ A?B? ????????????????6分

4(II)由(I)知C? 由

asinA?bsinB3?4?,∴ sinC?csinC22

2b,c?5b

5a?10b?2c,即a?又∵ a?b?∴ 2b?b?∴ a?2,c?2?1

2?1 ∴ b?1

5 ????????????????12分

18. (本小题满分12分)

为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的

31旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中

34

5

23(I)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;

(II)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

【解析】I)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则

P(A)?C6C30C36211持银卡。

wwwk5uom

?27

2. ?????????????6分

7(II)设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为:

事件B1为“采访该团2人,持金卡0人,持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人,持银卡1人”两种情况,则

P(B)?P(B1)?P(B2)?C21C2362所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是

?C9C6C23611?44105

44105所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是. ????????12分

19(本小题满分12分)

如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,

AB?AE,FA?FE,?AEF?45

?(I)求证:EF?平面BCE;

(II)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证: PM∥平面BCE (III)求二面角F?BD?A的大小。 【解析】解法一:

因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B

所以EF?平面BCE

????????????????6分

1(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC AB2∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. ????????????????8分 (III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

6

设AB=1,则AE=1,AF=22,则FG?AF?sinFAG?1212

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+GH?BG?sinGBH?32?22FGGH??32423=

32,

,

wwwk5uom在Rt⊿FGH中, tanFHG?,

2 3 ????????????????12分解法二: 因?ABE等腰直角三角形,AB?AE,所以AE?AB

∴ 二面角F?BD?A的大小为arctanwwwk5uom

又因为平面ABEF?平面ABCD?AB,所以AE⊥平面ABCD,所以AE?AD

即AD、AB、AE两两垂直;如图建立空间直角坐标系,

(I) 设AB?1,则AE?1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)

∵FA?FE,?AEF?45?,∴?AFE=900,

11,) 2211EF?(0,?,?),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0)

2211于是EF?BE?0???0,EF?BC?0

22从而F(0,-wwwk5uom ∴⊥BE,EF⊥BC

∵BE?平面BCE,BC?平面BCE,BC?BE?B

∴EF?平面BCE

(II)M(0,0,),P(1,2112,0),从而PM?(?1,?11,) 22

111111,)?(0,?,?)?0???0 222244 ∴PM⊥EF,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内, 故PM∥平面BCE

于是PM?EF?(?1,?(III)设平面BDF的一个法向量为n1,并设n1=(x,y,z) BD?(1,?1,0),BF?(0,?31,) 22?x?y?0??n1?BD?0? ? 即?3 1?y?z?0???n1?BF?02?2 取y?1,则x?1,z?3,从而n1=(1,1,3) 取平面ABDD的一个法向量为n2?(0,0,1) n2?? cos?n1、n1?n2n1?n2?311?1?31111wwwk5uom

故二面角F?BD?A的大小为arccos

31111

7

20(本小题满分12分)

已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 (I)求函数f(x)的解析式; (II)设函数g(x)?f(x)?13mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时

对应的自变量x的值. 【解析】(I)由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??① 又f?(x)?3x2?4bx?c,由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②,解得b??1,c?1.

所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2 ?????????????4分 (II)因为g(x)?x3?2x2?x?2?令g?(x)?3x?4x?1?213mx

13m?0

13m?0有实数解,

2当函数有极值时,则??0,方程3x?4x?1?wwwk5uom

由??4(1?m)?0,得m?1. ①当m?1时,g?(x)?0有实数x?23,在x?1323左右两侧均有g?(x)?0,故函数g(x)无极值

1?m),x2?13(2?1?m),g?(x),g(x)情况如下表:

②当m?1时,g?(x)?0有两个实数根x1?x g?(x) g(x) (??,x1) x1 (2?(x1,x2) x2 (x2??) + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ 所以在m?(??,1)时,函数g(x)有极值; 当x?13(2?1?m)时,g(x)有极大值;当x?13(2?1?m)时,g(x)有极小值;

?????????????12分

21. (本小题满分12分)

已知椭圆

x22wwwk5uom

22ab(I)求椭圆的标准方程;

?y2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?,右准线方程为x?2。

??????????226(II)过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点,且F2M?F2N?,求直线l的方程。

3?c2???a2【解析】(I)由已知得?,解得a?2?a?2??c2,c?1wwwk5uom

∴ b?a?c?1

x222∴ 所求椭圆的方程为

2(II)由(I)得F1(?1,0)、F2(1,0)

?y?1 ?????????????4分

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