发布时间 : 星期六 文章2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入习题课(二)数系的扩充与复数的引入苏教版选修2 - 2更新完毕开始阅读363fe8f05af5f61fb7360b4c2e3f5727a4e9245d
习题课(二)数系的扩充与复数的引入
1.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi ,则 (a+bi)=( ) A.3-4i C.4-3i
B.3+4i D.4+3i
2
2
2
解析:选A 由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)=(2-i)=3-4i. 2.复数z满足(-1+i)z=(1+i),其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于( )
A.第一象限 C.第三象限
2
2
B.第二象限 D.第四象限
?1+i?2i?-1-i?2i?-1-i?
解析:选D z====1-i,故z在复平面内对应
-1+i?-1+i??-1-i?2的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.
2
3.如果复数z=,则( )
-1+iA.|z|=2 C.z的虚部为-1
B.z的实部为1 D.z的共轭复数为1+i
22?-1-i?
解析:选C 因为z===-1-i,所以|z|=2,z的实部为-1,虚
-1+i2部为-1,共轭复数为-1+i,因此选C.
→→→
4.在复平面内,向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的复数为( )
A.1-2i C.3+4i
B.-1+2i D.-3-4i
→→
解析:选D ∵AB对应复数2+i,BC对应复数1+3i, →
∴AC对应复数(2+i)+(1+3i)=3+4i, →
∴CA对应的复数是-3-4i.
1-ai
5.已知i为虚数单位,若复数z=(a∈R)的实部为-3,则|z|=( )
1+iA.10 C.13
B.23 D.5
1-ai?1-ai??1-i?1-a-?a+1?i1-a解析:选D ∵z===的实部为-3,∴=-3,
1+i?1+i??1-i?22
解得a=7.
∴z=-3-4i,则|z|=5.故选D.
6.设z是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若z≥0,则z是实数 B.若z<0,则z是虚数 C.若z是虚数,则z≥0 D.若z是纯虚数,则z<0
解析:选C 设z=a+bi(a,b∈R),
??ab=0,
选项A,z=(a+bi)=a-b+2abi≥0,则?22
??a≥b,
2
2
2
2
22
22
2
故b=0或a,b都为0,即z为实数,正确.
??ab=0,
选项B,z=(a+bi)=a-b+2abi<0,则?22
?a
2
2
2
2
2
2
2
??a=0,
则?
?b≠0,?
2
故z一定为虚数,
正确.选项C,若z为虚数,则b≠0,z=(a+bi)=a-b+2abi,由于a的值不确定,故
?a=0,?
z2无法与0比较大小,错误.选项D,若z为纯虚数,则?
??b≠0,
则z=-b<0,正确.
2
3+i
7.复数z=的共轭复数是________.
1+2i
?3+i??1-2i?5-5i
解析:依题意得z===1-i,因此z的共轭复数是1+i.
?1+2i??1-2i?5答案:1+i
8.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则
z2=________.
解析:∵(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3), ∴z2=-2+3i. 答案:-2+3i
9.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=52,则ω=________.
2+i解析:由题意设(1+3i)z=ki(k≠0且k∈R),
zki
则ω=.
?2+i??1+3i?
∵|ω|=52,∴k=±50,故ω=±(7-i). 答案:±(7-i)
10.已知复数z=(1-i)+1+3i.
2
(1)求|z|;(2)若z+az+b=z,求实数a,b的值. 解:z=(1-i)+1+3i=-2i+1+3i=1+i. (1)|z|=1+1=2.
(2)z+az+b=(1+i)+a(1+i)+b =2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i, ∵z=1-i,
∴a+b+(a+2)i=1-i,
??a+b=1,∴???a+2=-1,
2
2
2
22
2
∴a=-3,b=4.
x-i311.已知z=(x>0),且复数ω=z(z+i)的实部减去它的虚部所得的差等于-,
1-i2
求ω·ω.
x-i?x-i?
+i? 解:ω=z(z+i)=?1-i?1-i?
=
x-ix+1x+1x2+xx+1x2+x2-
·=+i.
1-i1-i22
32
=-,得x-1=3. 22
根据题意
3
∵x>0,∴x=2,∴ω=+3i.
2
?3??3?45
∴ω·ω=?+3i??-3i?=.
?2??2?4
12.已知等腰梯形OABC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,
OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解:设z=x+yi,x,y∈R,如图,因为OA∥BC,|OC|=|BA|, 所以kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|, 2y-6??1=x+2,
即???x2+y2=32+42,解得?
?x=-5,???y=0
或?
?x=-3,???y=4.
因为|OA|≠|BC|,
所以x=-3,y=4(舍去),
故z=-5.