发布时间 : 星期一 文章最新培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总更新完毕开始阅读369df850690203d8ce2f0066f5335a8103d26602
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专题01 二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.
数学思想：
数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若x?
，则x,y,n都是同类二次根式，为什么？ y?n（其中x, y, n都是正整数）
例题与求解
【例1】 当x?1?200232003时，代数式(4x?2005x?2001)的值是（ ） 22003 A、0 B、－1 C、1 D、?2
【例2】 化简 （1）
（绍兴市竞赛试题）
ab?bab1b g(?)?a?ba?bab?ba?b（黄冈市中考试题）
（2）10?14?15?21
10?14?15?21（五城市联赛试题）
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（3）6?43?32
(6?3)(3?2)（北京市竞赛试题）
（4）315?10?26?33?2?18
5?23?1（陕西省竞赛试题）
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.
【例3】 比(6?5)6大的最小整数是多少？
（西安交大少年班入学试题）
解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x?6?5,y?6?5,
x4?6x3?2x2?18x?23想一想：设x?19?83,求的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
x3?7x2?5x?15形如： 精品文档
A?B的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
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【例4】 设实数x，y满足(x?x2?1)(y?y2?1)?1，求x＋y的值.
（“宗泸杯”竞赛试题）
解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.
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【例5】 （1）代数式x2?4?(12?x)2?9的最小值. （2）求代数式x2?8x?41?x2?4x?13的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，a2?b2的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），
设y?(x?4)?5?(x?2)?3，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.
2222方法精髓：
解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】 设m?值.
解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
10987求m?m?m?m?L?m?47的a?2a?1?a?2a?1(1?a?2)，
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能力训练
A级
7100432008?1520081.化简：()（“希望杯”邀请赛试题）
372008?352008
2.若x?y?35?2,x?y?32?5，则xy＝_____(北京市竞赛试题)
3.计算：19971999??(1997?1999)(1997?2001)(1999?2001)(1999?1997)2001(2001?1997)(2001?1999)
（“希望杯”邀请赛试题）
4.若满足0＜x＜y及1088?2x?y的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）
25.如果式子(x?1)?(x?2)化简结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
A. x≤1 B. x≥2 C. 1≤x≤2 D. x＞0 精品文档