发布时间 : 星期六 文章Hermite矩阵与反Hermite矩阵更新完毕开始阅读36bb7407eff9aef8941e0688
（8）偶数阶反Hermite矩阵的行列式为实数，奇数阶反Hermite矩阵的行列式为复数；
（9）若反Hermite矩阵A可逆，则A-1也是反Hermite矩阵 （10）若A是Hermite矩阵，则iA是反Hermite矩阵（i=（11）若A是反Hermite矩阵，则iA是Hermite矩阵（i=（12）任意A?Cn′n可写成
； -1）； -1）11A=(A+AH)+(A-AH)?H(A)22其中H(A)=S(A)，
11(A+AH)是A的Hermite部分，而S(A)=(A-AH)是A的反22Hermite部分；
（二）反Hermite矩阵的定理
定理4-1 每个A?Cn′n可以唯一地写成A=S+iT，其中S和T都是Hermite矩阵.
证明 把A写成
A=1(A+AH)+2Hi轾(-i2)(A-A) 犏臌由Hermite矩阵和反Hermite矩阵的基本性质可知，S=1(A+AH)和2T=(-i2)(A-AH)都是Hermite矩阵，根据唯一性论断，我们知道，如果
A=E+iF,其中E和F都是Hermite矩阵，那么
2S=A+AH=(E+iF)+(E+iF)H=E+iF+EH-iFH=2E
因而E=S.类似地可以证明F=T.
定理4-2 任一个n′n阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和.
证明 设任一个n′n阶矩阵B，令
B=B1+B2，
B+B'B-B'其中B1=，B2=，由于
22
15
'骣骣B+B'鼢B+B珑'鼢B1=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B'+B==B1
2B'-B==-B2
2'骣骣B-B'鼢B-B珑'鼢B2=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B+B'B-B'显然B1=是Hermite矩阵，B2=是反Hermite矩阵.
22定理4-3 设A10，若A*（A的伴随矩阵）是偶数阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A-1是反Hermite矩阵； （ⅱ）A'是反Hermite矩阵.
证明 （ⅰ） 设A10，A*是2m（m?Z+）阶反Hermite矩阵，即
(A)*'=-A*，由反Hermite矩阵的性质（8）知A*?R，又
AA*=A*A=AE，A10
故两边取行列式，得
(A)因此A?R，从而
*'=A2m-1 R
(A-1)'骣A*÷1*'1A**-1?÷=?=A=(-A)=-=-A， ()÷?÷?AAAA桫'从而A-1是反Hermite矩阵；
（ⅱ）令A=B，由于BB'-1=E，则(BB-1')=E'，从而(B-1')B'=E，
进而-B-1B'=E，于是B'=-B，因而A'是反Hermite矩阵.
定理4-4 若A是反Hermite矩阵，则
（ⅰ）A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；
16
（ⅱ）对任何U?Cn′n，UAU'还是反Hermite矩阵. 证明 （ⅰ）设复矩阵A=(aij)n′n，则
， i,j=1,2,?,n
-A'=(-aji)n′n由于A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故当i=j时，aii=-aii C 有
aii=0或aii为纯虚数
即A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；
（ⅱ）对任意U?Cn′n，记B=UAU'，下证B=-B'，因为A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故
-B=-UAU'(')=-(UAU)=-(UAU)=U(-A)U=UAU=B
''''''''这就是说，对任意U?Cn′n，A是反Hermite矩阵，UAU'还是反Hermite矩阵. 推论4[6] 若A是反Hermite矩阵，则对任意U?Cn′n，矩阵UAU'的主对角线上的元素均为0或纯虚数.
定理4-5[3] 对任意A?Cn′n，存在一个n阶酉矩阵U和一个上三角矩阵
R，使得
UHAU=R
其中R的对角元素是A的特征值.
定理4-6 若A是n阶反Hermite矩阵，则存在一个n阶酉矩阵U，使得
UHAU=D
其中D=diag(l1,l2,?,ln)，li(i=1,2,?,n)是A的纯虚数特征值.
证明 由定理4-5可知，存在一个n阶酉矩阵P,使得
A=PRPH
其中R是上三角矩阵，记
17
骣r11???0??琪R=?0????????0桫r12r220?0r13r23r33?0?r1n÷÷÷?r2n÷÷÷?r3n÷ ÷÷÷?÷÷÷÷?rnn÷由于AAH=AHA,令RHR=RRH,即
骣r11珑珑珑r12珑珑珑琪?珑珑珑r1n桫骣骣0?0鼢r11r12?r1nr11r12?r1n r11珑鼢 珑 r珑鼢r22??鼢0r?r0r?r珑222n222n 12鼢 ?鼢 = ?琪琪琪??0鼢?????????鼢 ?鼢 ? ?鼢 r2n?rnn鼢0?0r0?0r桫桫nnnn r1n0?0?÷÷÷r22??÷÷÷ ÷??0÷÷÷r2n?rnn÷?因此R=diag(r11,r22?，rnn)，即存在n阶酉矩阵U，使得
UHAU=D=diag(l1,l2,?,ln)
由于AH=-A，有DH=-D，即
li=-li，i=1,2,?,n
从而li(i=1,2,?,n)是纯虚数.
定理4-7 设A为n阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A的特征值均为纯虚数；
（ⅱ）A的不同特征值所对应的特征向量相互正交. 证明 （ⅰ）由定理4-4可以直接得出.
（ⅱ）设l，m是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x，y，则
Ax=lx，Ay=my
从而
yHAx=lyHx，xHAy=mxHy
因为A是反Hermite矩阵，l，m均为纯虚数，则
yHAx=myHx
于是
18