发布时间 : 星期五 文章普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第五章 角动量更新完毕开始阅读3717fe393968011ca3009137
第5章角动量
第五章 角动量
习题解答
5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km,远地点高度d远=2384km,地球半径R=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。
地
解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒
m月v近（d近+R地）=m月v远（d远+R地） v近/v远=（d远+R地）/（d近+R地）
=（2384+6370）/（439+6370）≈1.29
?5.1.2 一个质量为m的质点沿着r?acos?ti??bsin?t?其中a、b及ω皆为常数。j的空间曲线运动，
求此质点所受的对原点的力矩。 解：
??v?dr/dt??a?sin?ti??b?cos?t?j??22a?dv/dt??a?cos?ti??b?sin?t?j22????(acos?ti??bsin?t?j)???r ??2?F?ma??m?r????2???r?F??m?r?r?0
5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场
?2??(12t?6)?F?(3t?4t)ij中运动，其中t是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该
质点所受的对原点的力矩。
解：据质点动量定理的微分形式，Fdt?d(mv)?dv(m?1)
?2??(12t?6)??dv?[(3t?4t)ij]dt
???第5章角动量
??v0t??t2?dv?i?(3t?4t)dt?j?(12t?6)dt00?322v?(t?2t)i??6(t?t)?j??322dr?vdt?[(t?2t)i??6(t?t)?j]dt?ji??k??r0tt?322dr?i??(t?2t)dt?6?j?(t?t)dt00?4332r?(1t?2t)i??(2t?3t)?j43?4332r(2)?(1?2?2?2)i??(2?2?3?2)?j43?2F(2)?(3?2?4?2)i??(12?2?6)?j?4i??18?j????(2)?r(2)?F(2)?(?4i??4?j)?(4i??18?j)3?,???i??i???j??j?0,i???j?kj?i???k???4?4(?k?)??40k???(2)??4?18k3??4i??4?j3
5.1.4地球质量为6.0×1024kg，地球与太阳相距149×106km，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。
解：L?mvr?m?r2?6.0?1024?2?(149?10)92365?24?60?60402
?6.0?2??1492365?24?60?60?1042?2.65?10kgm/s
5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。 解：L?r?p?mr?v
??bsin?t???b?cos?t??m(acos?tij)?(?a?sin?tij)??ab?sin2?tk?)?mab?k??m(ab?cos?tk2?????
5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。
?????解：L(2)?r(2)?p(2)?mr(2)?v(2)
? ?1?(?4i??4?j)?12?j??16k3
5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g小球，沿半径 为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R1=40cm,运动速率为v1;后来的运动半径为R2=10cm,运动速率为v2.
-3
第5章角动量
先求小球原来的速率v1：据牛顿第二定律，F=mv12/R1，所以，
v1?R1F/m?0.4?10?3/10?2?0.2m/s
由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v1R1=m v2R2，v2=v1R1/R2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s
在由R1→R2的过程中，只有拉力F做功，据动能定理，有
AF??12122222mv2??10?212mv1?12m(v2?v1)?12m(v2?v1)(v2?v1)?3
(0.8?0.2)(0.8?0.2)?3?10J
5.1.8 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为
???bsin?t?r?acos?tij，其中a、b和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原
点角动量守恒。
证明：
????b?cos?t?v?dr/dt??a?sin?tij ??222???a?dv/dt??a?cos?ti?b?sin?tj???r⑴运动学观点：
?????bsin?t???b?cos?t?L?r?mv?(acos?tij)?m(?a?sin?tij)???i???????)?k?ij??j?0,ij??j?(?i?2??mab?sin2?tk??mab?k??L?mab?cos?tk显然与时间t无关，是个守恒量。
⑵动力学观点：
????????∵??r?F?r?ma?r?m(??2r)??m?2r?r?0,∴该质点角动量守恒。 ?
5.1.9 质量为200g的小球 B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v0如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率v及初速率v0.
解：设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当
速率为v时，与A点距离r=0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m.
小球B的速率由v0→v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A点的角动量守恒，有
r0mv0sin30o= rmv (最大距离时，r?v) （1）
另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，
12??mv0?212k(r?d)?212mv2(2)
为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：
v0?4v(1)'v0?1.6?v22(2)'
解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s v ≈0.33 m/s
第5章角动量
5.1.10 一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动。最初l1=2m,θ1=30o，后来继续向下拉绳使小球以θ2=60o沿水平圆周运动。求小球最初的速度v1，最后的速度v2以及绳对小球做的总功。
解：隔离小球，受力情况如图示， 应用牛顿第二定律，有： Fsin??mvFcos??mg(1)/(2)得?v?sin?cos?2/lsin?2(1)(2)?vglsin?
gl/cos?sin?(3)当θ=θ1时v1?当θ=θ2时,v2?2gl1/cos?gl2sin21sin?1?gl2129.8?4/2v23g23?2.38m/s
?2cos?2?32?l2?(4)
由于作用质点上的力对管轴的力矩始终等于零,∴角动量守恒：
mv1l1sin?1?mv2l2sin?2?v2?l1sin?1l2sin?2v1，将（4）式和三角函数值代入，可求得：
v2?33gl1v123?332?9.8?2?2.38?3.43m/s
将v2代入（4）中，可求得l2=0.8m，根据质点动能定理：
AF??Ek??Ep??1212m(v2?v1)?mg(l1cos?1?l2cos?22?3222)?0.5?10?3?(3.43?2.38)?0.5?10(2?32?0.8?1) 2?0.0806J5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。用轻线拴住轻弹簧两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码。另一砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止。燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离。求砝码升起的高度，已知弹簧劲度系数为k，被压缩
的长度为l0.
解：设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v，方向向上，左边砝码盘获得的速度为v'，方向向下，显然右边砝码盘及砝码获得的速度大小也是v',但方向向上（如图示）。把左盘、左盘上的砝码和右盘及盘中砝码视为一个质点系，作为研究对象。
在弹簧释放过程中，作用于质点系的外力对滑轮轴的力矩之和始终为零，故质点系对滑轮轴的角动量守恒，规定垂直纸面向外的角动量为正，则有：
-mvR+mv’R+2mv’R = 0，即 v = 3 v' (1) 另外，在此过程中，只有弹簧的弹力和重力做功，因而质点系能量守恒，忽略重力势能的微小变化，则有：
12kl0?212mv2?12(3m)v'，即 mv22?3mv'?kl022(2)
左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动,达到最大高度h时速度为零,据能量守
mv恒,122?mgh?h?v/2g2(3)
第5章角动量
由⑴⑵可求得v2=3kl02/4m，代入⑶中得：h = 3 k l02/8mg
5.2.3 两个滑冰运动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m，当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。⑴在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？⑵它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？⑶绳长为5m时，绳内张力多大？⑷二人在收拢绳索时，各自做了多少功〉⑸总动能如何变化？ 解：设每个运动员的质量为m=70kg，收绳前相对绳中心o的距离为d = d1= 5m，速率为v=v1=6.5m/s；当把绳收拢为d = d2= 2.5m时, 速率v=v2.
⑴对绳中心o点的角动量各为
L=mv1d1=70×6.5×5=2275kgm/s（抓住绳索前后角动量相同）
⑵把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中，质点系对o轴的角动量守恒有
2m v1d1 = 2m v2 d2∴v2 = v1d1/d2 = 6.5×5/2.5 =13 m/s ⑶把某一运动员视为质点，作为研究对象，由牛顿第二定律，绳中张力F = m v22/d2 = 70×132 /2.5 = 4732 N
⑷由质点动能定理，每人所做的功均为： A??12122
mv2?212mv1?212m(v2?v1)(v2?v1)?70(13?6.5)(13?6.5)?4436J
⑸总动能增大了ΔEk = 2×4436 = 8872 J