发布时间 : 星期四 文章射影几何学 - 图文更新完毕开始阅读37c42e0e844769eae009ed1c
若令□+1数组(□0,□1,?,□□)里的□□属于某一个数域□，所得到的是一个一般射影几何。例如当□是复数域时,次序公理和连续公理都不能满足，得到的是很重要的复射影几何。上面从（实）仿射空间得到（实）欧氏空间时，就曾经利用了虚点□1,□2。
若□是一个有限域,所得到的一般射影空间只有有尽多个点，叫做有尽射影空间。例如，若□是特征等于3的模域，则射影平面上有13个点和13条线,每条线上有4个点,经过每点有4条线。如果要通过公理系统来建立这个空间,就要在关联公理中规定：每条线上不能有多于4个点。 历史沿革
射影几何的某些内容，公元前就发现了，但到19世纪上半叶才有短暂的突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法,也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在17世纪初期，J.开普勒最早引进了无穷远点概念(1604)。稍后，G.德扎格引进了无穷远点，除证明了上面提到的他的著名定理(1639)外，还引进了交比，调和比,以及对于二次曲线的极点和极线等概念,证明了交比经过透视不变。在他的影响下，B.帕斯卡也研究了有关射影几何的问题，并发表了他的著名定理（1640）。这些定理的特点是概括性强，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、角度、面积）。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立,综合法让位于解析法,射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是 19世纪的J.-V.彭赛列。他是画法几何的创始人G.蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解,不得不重新再做。1822年,彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形（例如二次曲线和二次曲面）的方法，线素二次曲线概念也是他引进的(1832)。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖,K.G.C.von施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系(1847)，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。
另一方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是A.F.麦比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等(1827)。接着，J.普吕克引进了另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。 在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如M.沙勒，E.施图迪和施泰纳等,则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人,如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。1882年，M.帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。 把各种几何和变换群相联系的是F.克莱因，他在埃尔朗根纲领(1872)中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何,不能纳入这个分类法。后来□嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。