发布时间 : 星期一 文章前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类更新完毕开始阅读3845e44c487302768e9951e79b89680203d86ba2
由一阶线性非齐次微分方程公式知
y?ex(C??xn?1dx)
即
xny?e(C?)
nx因此
xnun(x)?e(C?)
ne1由?un(1)?e(C?)知，C?0， nnx于是
xnexun(x)?
n下面求级数的和：
令
xnexS(x)??un(x)??
nn?1n?1??则
?xnexexn?1xS?(x)??(xe?)?S(x)??xe?S(x)?
n1?xn?1n?1?n?1x即
exS?(x)?S(x)?
1?x由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x)?ex(C??1dx) 1?x令x?0，得0?S(0)?C，因此级数
?un?1?n(x)的和
S(x)??exln(1?x)
八、（10分）求x?1时, 与
t2??xn等价的无穷大量.
n?0?2解 令f(t)?x，则因当0?x?1，t?(0,??)时，f?(t)?2txlnx?0，故
t2f(t)?xt?e??02?t2ln1x在(0,??)上严格单调减。因此
???f(t)dt???n?0?n?1nf(t)dt??f(n)?f(0)???n?0n?1nn?1f(t)dt?1????0f(t)dt
即
?又
???0f(t)dt??f(n)?1??n?0????0f(t)dt，
?n?0f(n)??xn，
n?0211?limx?limx?1 x?11?xx?1?1ln???0f(t)dt????0xdt??e0t2???t2ln1xdt?1ln1?x??0e?tdt?21ln?12x，
所以，当x?1时, 与
??x等价的无穷大量是
n?0
?
n2
1?。
21?x2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
一、（25分，每小题5分） （1）设xn?(1?a)(1?a2)L(1?a2),其中|a|?1,求limxn.
n??n（2）求limex???x?1??1??。 ?x?x2（3）设s?0，求I???0e?sxxndx(n?1,2,L)。
22?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2。
?x?y?r?（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3与直线l2:的距离。 ??4?2?1?z?022n22n解：（1）xn?(1?a)(1?a)L(1?a)=xn?(1?a)(1?a)(1?a)L(1?a)/(1?a) =(1?a)(1?a)L(1?a)/(1?a)=L=(1?a222n2n?1)/(1?a)
?limxn?lim(1?a2)/(1?a)?1/(1?a)
n??n??n?111lne?x(1?)xx2ln(1?)?x1??x?xx?lime(2) lime?1???lime
x??x??x??x??2x2令x=1/t,则
(ln(1?t)?t)原式=limet?0?t2?limet?0n1/(1?t)?12t?limet?0?12(1?t)?e
?121?n?sx1n?sx???sxnIn??exdx?(?)?xde?(?)[xe|0??edx]?00s0s（3）
n??sxn?1nn(n?1)n!n!exdx?In?1?In?2?L?nI0?n?1s?0ss2ss?sx二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且
f??(x)?0,limf?(x)???0,limf?(x)???0,且存在一点x0，使得f(x0)?0。
x???x???证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实根。
解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开：
f''(?)2f(x)?f(0)?f(0)x?x
2'因为二阶倒数大于0，所以
x???limf(x)???，limf(x)???
x???证明完成。
?x?2t?t2(t??1)所确定，其中?(t)具有二阶三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?y??(t)?导数，曲线y??(t)与y??t21e?udu?23在t?1出相切，求函数?(t)。 2et2d2y3?u2?解：（这儿少了一个条件2）由y??(t)与y??edu?在t?1出相切得
1dx2e?(1)?32，?'(1)? 2eedydy/dt?'(t)?? dxdx/dt2?2td2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt?''(t)(2?2t)?2?'(t)???=。。。
dxdx/dt(2?2t)3dx2上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设an?0,Sn??a,证明：
kk?1n（1）当??1时，级数
an收敛； ??n?1Snan发散。 ??Sn?1n????（2）当??1且sn??(n??)时，级数解：
（1）an>0, sn单调递增 当
?an收敛时，Qn?1??anananan?，而收敛，所以收敛； sn?s1?s1?sn?当
?an?1n发散时，limsn??
n??sndxsndxansn?sn?1Q??????
sn?1s?sn?1x?snsn?n?sndxsndxana1a1????所以，?? ?????sn?1x?s1x?sssn?1nn?211?而
?sns1sn1???s11??a1s11??dxa1???lim????k，收敛于k。 ?n??xs11??s1??1an??收敛。 sn?1n
n???
所以，
（2）Qlimsn??
所以
?an?1?n发散，所以存在k1，使得
k1?an?2k1n?a1
ank1anan?1于是，?????2?
sk122sn2snk1依此类推，可得存在1?k1?k2?...
kNaan11使得???成立，所以?n ?N??s2s2ki1nnki?1当n??时，N??，所以
an??发散 n?1sn?