发布时间 : 星期日 文章20122013年清华大学保送生考试数学试题更新完毕开始阅读386dbb81960590c69ec37679
2012年清华大学保送生考试试题
一、填空题
1.若复数z为虚数,且|z|?1,Re?(z?(1?2i))?1,则z?____________. 2.在数列{an}中,a11?1,an?1?an?2.若数列{a}的前n项和为
18,则nan?137n?____________.
3.现有6人会英语,4人会日语,2人都会(共12人),从其中选出3人做翻译,要求两种语言都有人做翻译,则符合条件的选法种数为____________.
4.有一人进行投篮训练,投篮5次,失误一次扣1分,进一次得1分,连进2次得3分,连进3次得5分.若投篮的命中率为
25,则投篮3次恰好得2分的概率为____________. 5.不定方程
1x?1y?1z?1(x?y?z)的解(x,y,z)的组数为____________. 6.某几何体的三视图如右图所示,用?,?,?分别表示主视图、左视图、俯视图,设S?,S?,S?是实际几何体中能看到的面积,则
4αβ4S?,S?,S?从小到大的顺序为____________.
主视图左视图二、解答题 7.抛物线y?12x2与直线l:y?x?4所围成区域中有一个矩形ABCD,且点A,B在抛物线上,点D在直线l上,其中点B在y轴右侧,且|AB|?2t(t?0). (1)当AB与x轴平行时,求矩形ABCD面积S(t)的函数关系式； (2)当边CD在直线l上时,求矩形ABCD面积的最大值.
8.已知函数f(x)?2cosx?(sin2x?32)?sin3x,且x?[0,2?]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求方程f(x)?3的解.
γ3俯视图ex?19.已知函数f(x)?ln,且数列{an}满足:a1?1,an?1?f(an).
x (1)求证:x?e?e?1?0恒成立； (2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求证:数列{an}单调递减,且an?0恒成立.
10.在?OAB内(含边界),其中O为坐标原点,点A,B分别在在x轴,y轴的正半轴上,且
xxOA?OB?2.
(1)用方程或不等式表示?OAB围成的区域；
(2)求证:在?OAB内的任意11个点,总可以分成两组,一组中各点的横坐标之和不大于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6.
部分解答： 7、
8
9