发布时间 : 星期六 文章2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案更新完毕开始阅读3899855950d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f6e
2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲
函数模型及其应用学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 常见的函数模型
函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 考点2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
[必会结论]
“f(x)＝x＋(a＞0)”型函数模型
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0]和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2， 当x＜0时，x＝－时取最大值－2.[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)幂函数比一次函数增长速度快．( )
指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题
中．( (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按
九折出售，则每件商品仍能获利．(
)
)
(1)(3)(5) 2019年
(6)当x＞4时，恒有2x＞x2＞log2x.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一
段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞
停留后比原来骑得快，因此排除B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
B．900米 D．1200米
A．800米 C．1000米
答案 A
解析 设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当
x＝，即x＝200时取等号．
4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获
利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) B．105元 D．108元
A．118元 C．106元 答案 D
解析 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋
1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为________．
答案 200
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经
过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 2
解析 设n小时后才可以驾车，由题意得0.8(1－50%)n＝2,0.5n＝，即n＝2，即
至少经过2小时后才可以驾驶机动车．
2019年
板块二 典例探究·考向突破 考向 利用函数图象刻画实际问题
例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，
绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较
平稳
答案 A
解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A
错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.
触类旁通
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性
质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
【变式训练1】 [2015·北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列
叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车
更省油 答案 D
解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效
2019年
率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
考向 已知函数模型解决实际问题
例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃
的保鲜时间是( )
B．20小时 D．28小时
A．16小时 C．24小时
答案 C
解析 由题意，得(0,192)和(22,48)是函数y＝ekx＋b图象上的两个点，则解得e11k＝.所以当储藏温度为33 ℃时，保鲜时间y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝×192＝24(小时)．
触类旁通
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定 系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．【变式训练2】 [2014·北京高考]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根
据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
B．3.75分钟 D．4.25分钟
A．3.50分钟 C．4.00分钟
答案 B
a＝－0.2，??
解析 由已知得解得?b＝1.5，
??c＝－2，
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－2＋，