发布时间 : 星期五 文章2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案更新完毕开始阅读3899855950d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f6e
2019年
∴当t＝＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
考向 构建函数模型解决实际问题
例3 [2016·四川高考]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年
增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
B．2019年 D．2021年
A．2018年 C．2020年
答案 B
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1>200， 则lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2， ∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>，
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
2019年．故选B. 触类旁通
构建数学模型一定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出
突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关
系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构
建相应的数学模型．
【变式训练3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
2019年
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40， 因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等
号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．核心规律
1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3.解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原． 满分策略
解答数学应用题的失误与防范
(1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以应正确理解题意，选择适当的函数模型．
(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列1——构建分段函数模型解决实际问题
[2018·山西模拟]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元， 则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费
用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
2019年
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解题视点 (1)→y＝错误! (2)→→下结论
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6 故 ??50x－115，3≤x≤6，x∈Z，y＝? ?－3x2＋68x－115，6 (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 显然当x＝6时，ymax＝185， 对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6 ∵270>185， ∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [答题模板] 解函数应用题的一般程序 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际 问题的合理性． 跟踪训练 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a＞0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最 佳． (1)试求p＝f(t)的函数关系式； (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由． 2019年 解 (1)当t∈(0,14]时， 设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c＜0)，将(14,81)代入得c＝－，t∈(0,14]时，p＝ f(t)＝－(t－12)2＋82； 当t∈(14,40]时，将(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝， 所以p＝f(t)＝t－5＋83，t∈14，40].)) (2)t∈(0,14]时，由－(t－12)2＋82≥80， 解得12－2≤t≤12＋2， 所以t∈[12－2，14]， t∈(14,40]时， 由log(t－5)＋83≥80，解得5＜t≤32， 所以t∈(14,32]，所以t∈[12－2，32]， 即老师在t∈[12－2，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． 板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标] 1．现有一组数据如下： tv1.0 1.04 4.5 3.0 72 4.1 156.12 18.01 .99 .5 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A．v＝log2t C．v＝ 答案 C 解析 取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log2＝－1≠1.5；代入C，得v＝＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.故选C. 2．[2018·安阳一模]某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( ) B．v＝logt D．v＝2t－2