发布时间 : 星期二 文章高考数学易错题7.2 立体几何中的折叠问题-2019届高三数学提分精品讲义更新完毕开始阅读38f4bc227c21af45b307e87101f69e314332faaf
【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD中,AB?12,AD?6,E、F分别为CD、AB边上的点,且
DE?3,BF?4,将?BCE沿BE折起至?PBE位置(如右图所示),连结AP、EF、PF,其中PF?25.
(Ⅰ)求证:PF?平面ABED； (Ⅱ)求直线AP与平面PEF所成角的正弦值.
D
E
.
. F
C
D A
图
P
C
F
B
E
A
图
B
【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,PB?BC?6,PE?CE?9, 在?PBF中,PF2?BF2?20?16?36?PB2,所以PF?BF 在图1中,易得EF?62??12?3?4??61,
2在?PEF中,EF2?PF2?61?20?81?PE2,所以PF?EF
又BFIEF?F,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF?平面ABED.
(Ⅱ)方法一:以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示,则A?6,0,0?,P6,8,25,
??uuuruuuruuurE?0,3,0?,F?6,8,0?,所以AP?0,8,25,FP?0,0,25,EF??6,5,0?,
????uuur5????n?FP?0?25?z?0?x??y设平面PEF的法向量为n??x,y,z?,则?uuu,即?,解得?r6
6x?5y?0????n?EF?0??z?0令y??6,得n??5,?6,0?,
uuurAP?n8128148设直线AP与平面PEF所成角为?,则sin??uuu. ??r42784?61APn
所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为81281. 427
方法二:过点A作AH?EF于H,
由(Ⅰ)知PF?平面ABED,而AH?平面ABED
所以PF?AH,又EFIPF?F,EF?平面PEF,PF?平面PEF, 所以AH?平面PEF,
所以?APH为直线AP与平面PEF所成的角. 在Rt?APF中,AP?AF2?PF2?64?20?221
48AF?AD ?EF61在?AEF中,由等面积公式得AH?在Rt?APH中,sin?APH?AH16381281 ???AP4276122181281. 427所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为【点评】折叠问题分析求解两原则：
(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变. 【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】如图：在直角梯形
,,
的中点．
平面与平面
； 的夹角.
,
,
于,把
沿
折到
的位置,使
中
,如图,分别为
(1)求证：(2)求平面
【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）在∴又∵∴∵∴∵∴
面面, 面
,∴, .
.
, .
,
中,∵
,
建立如图空间直角坐标系, 则
,
则
,
,设面
的法向量
∴,∴面. 的法向量
,
（2）由题意知面
设平面的法向量,则
,
[来源:Zxxk.Com]
.
∴平面与平面的夹角为.
(二) 几何体的展开
几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试. 1.展开后形状的判断
【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.
【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
【解析】这个展开图是图⑦的情形,题目给出“程”做底面,“似”做前面,显然,“祝”是后面,“前”和“你”是往右边翻折的,所以“前”是左面,“你”是上面. 因此,依次填：“后面”、“上面”、“左面”.