发布时间 : 星期一 文章高考数学易错题7.2 立体几何中的折叠问题-2019届高三数学提分精品讲义更新完毕开始阅读38f4bc227c21af45b307e87101f69e314332faaf
【点评】正方体展开头记忆口诀:正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁;十四条边布周围,十一类图记分明;四方成线两相卫,六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯.对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”. ②在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会超过四个.③正方体的展开图不会有\田\字形,\凹\字形的形状.
2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题 【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为
2,高为2,AB，CD分别是两底面的直径,AD，BC是母线．若一只?小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．
【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.
【小试牛刀】如图,在长方体中,AB?3,BC?4,CC1?5,求沿着长方体表面从A到C1的最短路线长.
解析：在长方体的表面上从A到C1有三种不同的展开图. （1）将面ADD1A1绕着A1D1折起,得到的平面图形如图1所示： 则AB1?5?3?8,B1C1?4,在直角?AB1C1中,AC1?AB12?B1C12?82?42?45.
（2）将面ABB1A1绕着A1B1折起,得到的平面图形如图2所示： 则BC1?5?4?9,AB?3,在直角?ABC1中,AC1?AB2?BC12?32?92?310.
（3）将面ADD1A1绕着DD1折起,得到的平面图形如图3所示： 则AC?4?3?7,AA1?5,在直角?ACC1中,AC1?AC2?CC12?72?52?74.
显然74?45?310,故沿着长方体表面从A到C1 的最短路线长为74.
四、迁移运用
1.【2017辽宁省六校协作体下学期期初】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和,个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.
B.
C.
D.
,侧面展开图是一
【答案】A
【解析】由题设A.
,即,所以圆柱的表面积与侧面积的比是,应选答案
2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将?ABD与
?ACD折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD?平面ACD；②?ABC为等边三角形；③
平面ADC?平面ABC；④点D在平面ABC内的射影为?ABC的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C
【解析】由于三角形ABC为等腰直角三角形,故BD?AD,BD?CD,所以BD?平面ACD,故①正确,排除B选项.由于AD?BD,且平面ABD?平面ACD,故AD?平面BCD,所以AD?CD,由此可知
AB?BC?AC,三角形为等比三角形,故②正确,排除D选项.由于DA?DB?DC,且?ABC为等边三角
形,故点D在平面ABC内的射影为?ABC的外接圆圆心, ④正确,故选C.
3.【2017河南省信阳市上学期期末教学质量监测】已知梯形的中点,四边形当点满足
为正方形,现沿
时,平面
进行折叠,使得平面
平面
如下图所示,其中平面
,
,为线段
,得到如图所示的几何体.已知
,则的值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】因为四边形为正方形,且平面
,
平面,所以
,所以两两垂直,且
,
,所以建立
空间直角坐标系（如图所示）,又因为则
,得
取因为平面
,
平面
,所以,取
,设平面
,平面
的法向量为
的法向量为,则由
得
,则由
,
,解得.故选C.
4.【2016学年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）
A．点M到AB的距离为2 2B．AB与EF所成角是90? C．三棱锥C?DNE的体积是D．EF与MC是异面直线 【答案】D
【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A中M到AB的距离为
1 6MC2?,A正22