发布时间 : 星期六 文章2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文1更新完毕开始阅读3932aaf3b2717fd5360cba1aa8114431b80d8e4e
第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．已知F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大
4值是( )
A．－2 C．2
B．1 D．4
→
→
x2
→
2
→
解析：设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1·PF2＝(－3－x)(3－→→
3232
x)＋y＝x＋y－3＝x－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x－2≤1，因此PF1·PF2的最大值
44
2
2
2
是1.
答案：B
2．(2017·沈阳二模)若点P为抛物线y＝2x上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．2 1
C. 4
1B. 21D. 8
2
2
解析：根据题意，点P在抛物线y＝2x上，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛1122
物线的方程为y＝2x，即x＝y，其准线方程为y＝－，所以当点P在抛物线的顶点时，d2811
有最小值，即|PF|min＝. 88
答案：D
3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y＝43x的焦点的直线l与双曲线C：－y＝1
2的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2＞0，则k的取值范围是( )(导学号 55410132)
2
x2
2
?11?A.?－，?
?22?
1??1??B.?－∞，－?∪?，＋∞? 2??2??C.?－?
?22?，? 22?
1
D.?－∞，－
??2??2??∪?，＋∞? 2??2?
222
x，当k＞或k＜－时，l与双曲线的右支有222
解析：易知双曲线两渐近线y＝±两个交点，满足x1x2＞0.
答案：D
x2y2
4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，
3m若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞) C．(0，3)
B．[1，3) D．(0，1]
解析：依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°，即答案：D
5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) C．(2，0)
B．(0，2) D．(1，0)
2
ab3
m≥3.解得0＜m≤1.
121
解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x，则y′＝x，则
4211
在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝－x1x－y1，
22
同理，在点B处的切线方程为
y＝－x2x－y2，
又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程， 11
代入得－2＝－x1t－y1，－2＝－x2t－y2，
22这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程 1
－2＝－xt－y，
2
1
则直线AB的方程为y－2＝－tx，直线AB恒过点(0，2)．
2答案：B 二、填空题
12
2
x2y22
6．设双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x的一个交点的横
ab坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
x2y2b解析：双曲线C：2－2＝1的一条渐近线为y＝x，
abay＝x，??b22
联立?b消去y，得2x＝x.
ay＝x?a?b222
由x0＞1，知2＜1，b＜a.
ac2a2＋b2
所以e＝2＝2＜2，因此1＜e＜2.
aa22
答案：(1，2)
7．已知抛物线C：x＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线→→
与圆Q切于点P，则FP·FQ的最小值为________．
→→→→
22
解析：如图，FP·FQ＝|FP|＝|FQ|－1.
2
→
由抛物线的定义知：|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的→→→
距离最短，所以|FQ|min＝2，所以FP·FQ的最小值为3.
答案：3
8．(2017·济南模拟)已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过
2
A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)． 则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.
4又y1y2＝－p＝－4.
2
y22
3
4
所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．
4y2
4
利用导数易知y＝－在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，
4y2
|AC|＋|BD|的最小值为3.
答案：3 三、解答题
y22
y22
x2y233??
9．(2017·西安调研)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P?1，?在
ab22??
椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．
?a＝2，
??b＝1，
解：(1)由题意得?13解得?
＋＝1，a4b?c＝3，??a＝b＋c，
222
2
2
c3
＝，a2
故椭圆E的方程为＋y＝1.
4
3x2
(2)设直线l的方程为y－＝k(x－1)，代入方程＋y＝1，
24消去y，得(1＋4k)x＋(43k－8k)x＋(4k－43k－1)＝0， 4k－43k－1
所以xQ·1＝. 21＋4k因为0＜xQ＜1，
4k－43k－1
所以0＜＜1， 21＋4k4k－43k－1
＞0，2
1＋4k即 2
4k－43k－1
＜1.2
1＋4k2
2
2
2
2
2
2
x2
2
?????
2
4