发布时间 : 星期四 文章2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质(一)作业2 北师大版选修1-1更新完毕开始阅读399238bc00f69e3143323968011ca300a7c3f632
12|TA|
得：A(1，2)，B(，－)，所以＝
42|TB|
122
（1＋）＋（2）
2
11222（＋）＋（）422
＝2.
答案：2
5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
2
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px(p>0)．
2
因为点P(1，2)在抛物线上，所以2＝2p×1，解得p＝2.
2
所以所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1.
y1－2y2－2
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝，kPB＝，
x1－1x2－1
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在
2??y1＝4x1，①
抛物线上，得?2
?y＝4x，②2?2
y1－2y2－2所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.
1212y1－1y2－144
由①－②得直线AB的斜率为－1. 6．(选做题)已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．
解：依题设抛物线C的方程可写为y＝2px(p>0)，
且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y＝kx(k≠0)，①
1
设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线A′A的方程为y＝－(x2
k＋1)，②
由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为?－
?21，－2k?.
k＋1??k＋1?
又M为AA′的中点，
从而点A′的横坐标为xA′＝
1?k2－1?2?－2?＋1＝2，
k＋1?k＋1?
2k?－k?纵坐标为yA′＝2?2?＋0＝－2.③ k＋1?k＋1?
2
16k8（k－1）
同理得点B′的横、纵坐标分别为xB′＝2，yB′＝.④
k＋1k2＋1
2
又A′，B′均在抛物线y＝2px(p>0)上，
2k?2k2－1?由③得?－2?＝2p·2，
k＋1?k＋1?
5
2
由此知k≠±1，即p＝2kk4－1
.⑤
同理由④得
?2?8（k－1）??216k2（k2－1）2k2＋1??
＝2p·k2＋1即p＝（k2＋1）k. 从而2k22（k2－1）2k4－1＝（k2＋1）k，
整理得k2
－k－1＝0，
解得k1＋51－5
1＝2，k2＝2.
但当k＝1－52时，由③知x5
A′＝－5
<0，
这与点A′在抛物线y2
＝2px(p>0)上矛盾，故舍去k1－5
2＝2
. 所以k＝1＋51＋2，则直线l的方程为y＝5
2x.
将k＝1＋525
2代入⑤，求得p＝5. 所以直线方程为y＝1＋5
2x.
抛物线方程为y2
＝455
x.
6