发布时间 : 星期一 文章2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷含答案更新完毕开始阅读39a32f11905f804d2b160b4e767f5acfa1c783ca
由于a，b，c是三个非负实数， ∴a≥0，b≥0，c≥0， ∴﹣
≥m≥﹣．
所以m最小值=﹣． 故本题答案为：﹣．
【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．
8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且
=m，
=n，则+= 1 ．
【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案． 【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点， ∴MD是梯形的中位线， ∴BE+CF=2MD， ∴+=
=
+
=
=
=1．
【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．
9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部
及其边界上的整点个数有 25 个．
【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．
2
【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）﹣
]，
令y=0得，x=或 ．
则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个， 故答案为：25．
【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．
10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= 1+
．
），
Rt△ABO中，【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=
，即可求得OB的长；
过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．
【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径． Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°， ∴OB=
OA=
×
=
．
过B作BD⊥OC于D．
Rt△OBD中，∠COB=45°， 则OD=BD=
OB=
．
Rt△BCD中，∠OCB=60°， 则CD=
BD=1．
．
∴OC=CD+OD=1+故答案为：1+
．
【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．
11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是
和
，矩形ABCD边AB，CD分
．
别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 16+12
【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．
【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N． 根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6
，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12
．
【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．
三、简答题（共4小题，满分50分）
12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．
请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级 （1）班 （2）班 （3）班
内环 中环 外环
【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．
【解答】解：填表如下： 班级 （1）班 （2）班 （3）班
内环 中环 外环 1 2 3
3 3 3
4 2 0
理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255 化简得y=5+2（t﹣x）+（1+t﹣x）
对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+（1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；