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第十四章 光学
14-1 一根直径为8.0cm的长玻璃棒的一端被磨成半径为4.0cm的光滑凸状球面，已知玻璃的折射率为1.50。如果将物体放于棒轴上距此端面分别为无限远、16.0cm和4.0cm处，求像的位置。 已知：R?4.0cm，n1?1.00，n2?1.50，l1???,?16.0cm,?4.0cm 求：l2
解：将已知数据代入单球面折射公式：
n2n1n2?n1?? 中。 l2l1R当l1??? 时，求得：l2?12cm，表示像在玻璃棒内距端面12cm处； 当l1??16.0cm时，求得：l2?24cm，表示像在玻璃棒内距端面24cm处； 当l1??4.0cm时，求得：l2??12cm，表示像在玻璃棒外距端面12cm处。
14-2 将上题中的玻璃棒浸在某种液体里，在棒轴上离棒的端面60.0cm处放一物体，发现像呈现在玻璃棒内距端面100.0cm处。求液体的折射率。
已知：R?4.0cm，l1??60cm，l2?100cm和n2?1.50 求：n1
解：将已知数据代入单球面折射公式，得：从中解得：n1?1.50n11.50?n1 ??100?604.00.36?1.35 0.26714-3 折射率为1.50、直径为10.0em的长玻璃棒，端面被磨成半径为5.0cm的光滑凸状球面。有一长为1.0mm的细棒，垂直地放于玻璃棒轴上距端面20.0cm处。求细棒的像的位置和横向放大率。 已知：R?5.0cm，n1?1.00，n2?1.50，l1??20.0cm和y1?1.0mm， 求：像距l2和横向放大率m
解：将已知数据代人单球面折射公式，得：
1.501.001.50?1.00?? l2?20.05.0从中解得：l2?30.0cm 所以像在棒内距端面30．0cm处。
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横向放大率为：m?n1l2??1.00 这表示，像是与物等大的倒立实像。 n2l114-4 有一曲率半径为20.0她的凹面镜，先后放在空气(折射率为1.00)和水(折射率为1.33)中，求在这两种情况下的焦距。
解：反射镜的焦距之取决于镜面的曲率半径，与介质的性质无关。
f?R?20.0???10.0cm 2214-5 高度为2.0cm的纫捧，放于曲率半径为16.0cm的凹面镜之前，如果细棒垂直地处于主光轴上，并分别距离顶点4.0cm、16.0cm和24.o cm 。
(1)求在三种情况下像的位置、大小、正倒和虚实； (2)用作图法求像。 已知：R??16.0cm，y1?2.0cm，l1??4.0cm、?16.0cm和?24.0cm 解：(1)在l1??4.0cm的情况下：将已知量代入球面镜公式：从中解得：l2?8.0cm 横向放大率为：
112112?? 得：?? l1l2R?4.0l2?16.0m??l28.0???2.0 l1?4.0此结果表示，像处于球面镜之后距离顶点8.0cm处，是物的2倍，是正立的虚像
在l1??16.0cm的情况下：将已知量代人球面镜公式，可求得：
l2??16.0cm
横向放大率为：m??1.0
此结果表示，像处于球面镜之前
距离顶点16．0cm处，与物等大，是倒立的实像。
在l1??24.0cm的情况下：将已知量代人球面镜公式，可求得：l2??12.0cm
横向放大率为：m??0.50 此结果表示，像处于球面镜之前距离顶点12.0cm处，是物的1／2，是倒立的实像。
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(2)题意要求的三种情形分别用图 (a) 、图(b)和图 (c)表示。图中：凹面镜右侧光线射不到，故用阴影表示；物用A1B1表示，像用A2B2表示。由物点B1发出的平行于主光袖的光线到达凹面镜的D点，反射后必定
通过焦点F，这就是光线DH夕；由物点B1发出的通过焦点F的光线到达凹面镜的E点，反射后必定平行于主光轴，这就是光线EG。光线DH和光线EG的交点(或反向延长线的交点)，就是像点B2。
14-6 有一曲率半径为20．0cm的凹面镜，在距顶点10．0cm处垂直于主光轴放置一高度为20mm的细棒，计算像的位置和横向放大率，然后作图。
解：已知：R??20.0cm，y1?2.0mm，l1??10.0cm。将已知量代入球面镜公式：
112?? l1l2R解得：
112?? ?10.0l2?20.0从中解得：l2??? 横向放大率为：m??l2?????? l1?10.0以上结果表示，像处于球面镜之后距离顶点无限远处，是无限大的、正立的虚像。
作图示。图中，凹面镜右侧光线射不到，故用阴影表示，物用A1B1，表示，根据题意，A1B1垂直于主光轴，并且A1与焦点相重合。由物点B1发出的平行于主光轴的光线到达凹面镜的D点，反射后必定通过焦点多(即A1点)，这就是光线DH，其反向延长线就是DH’；由物点B1发出的
通过曲率中心O的光线到达凹面镜的E点，反射后必定按原路径返回，这就是光线EG，其反向延长线是EG’。容易证明，DH'EG'，它们必定相交于无限远处，也就是说，像点B2必定在无限远处。
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14-7 试证明：当凸面镜对物体成像时，无论物体放于何处，像总是缩小的虚像。 解： 根据球面镜的高斯公式：
f?l1111?? 可以得到：l2?
l1?fl1l2fl2f?? l1l1?f将上式代入球面反射的横向放大率公式，得：m??对于凸面镜，总有f?0，l1?0也就是说，上式分子总为正值，分母总为负值，并且分母的绝对值总是大于分子的，所以，由上式决定的横向放大率总是小于l的正值。这表示，凸面镜所成的像总是缩小的虚假，并且是正立的。
14-8 一个人身高1．70m，头顶到眼睛的距离为0．10m。如果此人能够从铅直放置的平面镜中看到自己的全身，这个平面镜应至少多高?它应放置在什么位置?
解 由图可以看出，这个平面镜的最小高度为：
11hmin???10cm????160cm??85cm
22应铅直放置，下端距地面80cm。
14-9 会聚透镜的焦距为10.0cm，当物点处于主光轴上并距光心分别为20.0cm和5.0cm时，试确定像的位置、大小、正倒和虚实。
己知：f?10.0cm，l1分别为?20.0cm和?5.0cm， 求：像的位置和性质。
解：在l1??20.0cm的情况下，将已知量代入薄透镜成像公式：
111111??? 得：?
l2?20.010.0l2l1f从中解得：l2?20.0cm 此时横向放大率为：m??l220.0???1.00 l1?20.0以上结果表示，像处于薄透镜之后距离光心20.0cm处，与物等大，是倒立的实像。 在l1??5.0cm的情况下，将已知量代人薄透镜成像公式，
得： l2??10.0cm 此时横向放大率为：m??l2?10.0??2.00 l1?5.0上面结果表示，像处于薄透镜之前距离光心10.0cm处，像是物的2倍，是正立的虚像。
14-10 一发散透镜的两个球面的曲率半径分别为10.0cm和30.0cm，其折射率为1.50。现有高度为2.0cm
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