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快速傅里叶变换(FFT)的DSP实现
(马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410)
摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后，然后介绍FFT在TMS320C55xx定
点DSP上的实现，FFT算法采用C 语言和汇编混合编程来实现，算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。
关键字：FFT，DSP，比特反转 1.引言
傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式，是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT的计算量很大，因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。
20世纪60年代由Cooley和Tukey提出了快速傅里叶变换（FFT）算法，它是快速计算DFT的一种高效方法，可以明显地降低运算量，大大地提高DFT的运算速度，从而使DFT在实际中得到了广泛的应用，已成为数字信号处理最为重要的工具之一。
DSP芯片的出现使FFT的实现变得更加方便。由于多数的DSP芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算，而且还提供了专门的FFT指令（如实现FFT算法所必需的比特反转等），使得FFT算法在DSP芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT算法的基本原理，然后介绍FFT算法的DSP实现。
2.FFT算法的简介
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。
2.1离散傅里叶变换DFT
对于长度为N的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT）为
nkX(k)?x(n)W ?N,n?0n?1k?0,1,?N?1 （1）
?j2?/NW?e式中， N ，称为旋转因子或蝶形因子。
从DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k值，直接按（1）
式计算X(k) 只需要N次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N个k值，共需要2
N次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N值（如1024点）来说，直接计算它的DFT所需要的计算量是很大的，因此DFT运算的应用受到了很大的限制。
2.2快速傅里叶变换FFT
旋转因子WN 有如下的特性。 。对称性： 。周期性：
kk?N/2WN??WN
kk?NWN?WN利用这些特性，既可以使DFT中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT
分解成几个短序列的DFT。FFT就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。
FFT的算法是将长序列的DFT分解成短序列的DFT。例如：N为偶数时，先将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT分解成N/4点的DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT算法，它的最小变换是2点DFT。
一般而言，FFT算法分为按时间抽取的FFT（DIT ＦＦＴ）和按频率抽取的ＦＦＴ（DIF FFT）两大类。ＤIF FFT算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。而DIF FFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。
kWN两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIF FFT算法中，旋转因子
出现在输入端，而在DIF FFT算法中它出现在输入端。
假定序列x(n)的点数N是2的幂，按照DIF FFT算法可将其分为偶序列和奇序列。 偶序列：
x(0),x(2),x(4),?x(N-2),即x1?x(2r),r?0,1,?N/2?1 奇序列：
x(1),x(3),x(5),?x(N-1),即x2?x(2r?1),r?0,1,?N/2?1则x(n)的DFT表示为
N?1n?0N?1n?0X(k)??x(n)Wn为偶数N/2?1nkNnk??x(n)WNn为奇数2rkNN/2?1???x(2r)Wr?0?(2r?1)kx(2r?1)W?Nr?0N/2?1r?0
N/2?1r?0?x(r)W12rkNk?WN?x(r)W22rkN(2)由于W?e为
2N??j(2?/N)2???erkN/2?j2?/(N/2)??WN/2 ，则（3）式可表示
N/2?1
X(k)??x(r)W1r?0?WkNN/2?1r?0?x2rk(r)WN/2
k?X1(k)?WNX2(k)k?0,1,?N/2?1(3)式中， X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。 由于对称性，
kk?N/2KX2(k)。WN??WN,则X(k?N/2)?X1(k)?WN因此，N点X(k)可分为两部分：
k前半部分：X(k)?X1(k)?WNX2(k)k后半部分：X(k?N/2)?X1(k)?WNX2(k)k?0,1,?N/2?1 （4）
k?0,1,?N/2?1 （5）
从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间X1(k)和X2(k)的值，就可求出0~N-1区间X(k)的N点值。
以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT，重复抽取过程，就可以使N点的DFT用上组2点的 DFT来计算，这样就可以大减少运算量。
基2 DIF FFT的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为xm?1(p)和xm?1(q)，输出为xm(p)和xm(q)，则有
k （6） xm(p)?xm?1(p)?xm?1(q)WNk （7） xm(q)?xm?1(p)?xm?1(q)WN在基数为2的FFT中，设N=2，共有M级运算，每级有N/2个2点FFT蝶形运算，因此，N点FFT总共有(N/2)log2N个蝶形运算。
M
xm?1(q) xm(p)
xm?1(q) xm(q)
-1
图(a) 基2 DIF FFT的蝶形运算
例如：基数为2的FFT，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。
x(0) x(0)
0
WN
x(4) x(1) -1
0
WN
x(2) x(2) -1 02
WN WN
x(6) x(3)
-1 -1
0
WN
x(1) x(4) -1 01
WN WN
x(5) x(5) -1 -1 02
WN WN
x(3) x(6) -1 -1 023 WN WN WN
x(7) x(7) -1 -1 -1 图(b) 8点基2 DIF FFT蝶形运算
从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为
x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)。输出是按自然顺序排列，其顺序为x(0),x(1),?,x(6),x(7)。
3.FFT算法的DSP实现
DSP芯片的出现使FFT的实现方法变得更为方便。由于大多数DSP芯片都具有在单指令周期内完成乘法—累加操作，并且提供了专门的FFT指令，使得FFT算法在DSP芯片实现的速度更快。
FFT算法可以分为按时间抽取FFT (DIF FFT)和按频率抽取FFT (DIF FFT)两大类，输入也有实数和复数之分，一般情况下，都假定输入序列为复数。下面以N复数点FFT算法为例，介绍用DSP芯片实现的方法。
3.1 FFT运算的实现
用TMS320C55XX的C 语言和汇编混合编程实现FFT算法主要分为三步:
3.1.1实现输入数据的比特反转
输入数据的比特反转实际上就是将输入数据进行位码倒置,以便在整个运算后的输出序列是一个自然序列。在用汇编指令进行位码倒置是，使用位码倒置寻址可以大大担高程序执行速度和使用存储器的效率。在这种寻址方式下，AR0存放的整数N是FFT点的一半，一
个辅助寄存器指向一个数据存放的章元。当使用位码倒置寻址将AR0加到辅助寄存器时，地址将以位码倒置的方式产生。
3.1.2实现N点复数FFT
N点复数FFT算法的实现可分为三个功能块，即第一级蝶形运算，第二蝶形运算，第三级至log2N级蝶形运算。
对于任何一个2的整数幂N=2M，总可以通过M次分解最后成为2点的DFT计算。通
，
过这样的M次分解，可构成M（即log2N）级迭代运算完成。
3.1.3输出FFT结果
3.2 C,汇编语言混合程序
FFT算法程序主要由exp7b.c, w_table.c ,fft.asm, bit_rev.asm四个程序组成. exp7b.c：主调用子程序用来调用其他程序,实现统一接口。 w_table.c：旋转因子程序，用来计算旋转因子。
bit_rev.asm：位码倒置程序，用来实现输入数据的比特反转。 fft.asm：FFT算法主程序，用来完成N点FFT运算。
4.小结：
本实验通过学习快速傅里叶变换(FFT)的原理，然后在CCS平台下编程对其进行模拟仿真，对快速傅里叶变换(FFT)有个一个较深刻的理解。并且熟悉了DSP，CCS平台，达到了课程教学的目的。但由于初学DSP，许多东西不明白，以后还需对DSP努力学习研究，达到一个高水平。
参考文献:
1.DSP原理及应用其 邹彦,唐冬,宁志刚,王毓银 电子工业出版社 2.TMS320C5000系列DSP系统设计与开发实例 汪春梅,孙洪波,任治刚 电子工业出版社 3.DSP芯片的原理与开发应用(第三版) 张雄伟,陈亮,徐光辉 电子工业出版社 4.实时数字信号处理 SEN M.KUO.BOB H.LEE 中国铁道出版社