发布时间 : 星期二 文章高考数学第一轮大复习素材： 4合情推理与演绎推理新人教A文更新完毕开始阅读39bda87312a6f524ccbff121dd36a32d7375c792
已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，
a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数. 证明 设x1，x2∈R，取x1 则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， ∵x1 高考中的合情推理问题 典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数n?n＋1?1211,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以 222下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 11 N(n,3)＝n2＋n， 22N(n,4)＝n2， 31 N(n,5)＝n2－n， 22N(n,6)＝2n2－n ……………………………………… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________. 思维启迪 从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24). k－24－k 解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n， 2224－24－24 ∴N(10,24)＝×100＋×10 22＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000 x2y2 (2)(5分)若P0(x0，y0)在椭圆2＋2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2， abx0xy0y 则切点弦P1P2所在的直线方程是2＋2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0) abx2y2 在双曲线2－2＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2 ab所在直线的方程是________. 思维启迪 直接类比可得. 解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则P1，P2的切线方程分别是 x1xy1yx2xy2y－＝1，－＝1. a2b2a2b2 因为P0(x0，y0)在这两条切线上， x1x0y1y0 故有2－2＝1， abx2x0y2y0 －2＝1， a2b x0xy0y 这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线2－2＝1上， abx0xy0y 故切点弦P1P2所在的直线方程是2－2＝1. ab答案 x0xy0y －＝1 a2b2 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项： 1 k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得 31 1×2＝(1×2×3－0×1×2)， 31 2×3＝(2×3×4－1×2×3)， 3 …， 1 n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]. 3 1 相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)·(n＋2). 3 类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”，其结果为________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证. 1 解析 类比已知条件得k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]， 41 由此得1×2×3＝(1×2×3×4－0×1×2×3)， 41 2×3×4＝(2×3×4×5－1×2×3×4)， 41 3×4×5＝(3×4×5×6－2×3×4×5)， 4…， 1 n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]. 4以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2) 1 ＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3). 4 1 答案 n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 4 温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到； (2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确. 方法与技巧 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.