发布时间 : 星期日 文章[创新设计]（全国通用）2016高考数学二轮专题复习 第二周 星期二 概率统计与立体几何习题 理更新完毕开始阅读39dbd8d8844769eae009edd8
星期二 (概率统计与立体几何)
1．概率统计知识(命题意图：考查独立重复试验的概率以及互斥事件的概率求解．) 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
12解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，设“这
334个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，
?1??2?则P(Ai)＝C4??·??
?3??3?
ii4－i.
2
2
8?1??2?(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C????＝.
?3??3?27
24
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，
?1?24?1?1
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C??·＋C4??＝，所以这4个人中去参加
?3?3?3?9
34
34
1
甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 9
8
(3)ξ 的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，27
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ 0 8 272 40 814 17 8140811781
P 84017148
∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝. 27818181
2．立体几何知识(命题意图：考查线面的位置关系，以及空间向量法求线面角、面面角等．)
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1
如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、G分别
2为PC、CB的中点，F是PD上的点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.
(1)若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；
(2)当二面角G-EF-D的大小为π
4时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．
(1)证明 F是PD的中点时，
EF∥CD∥AB，EG∥PB，
∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB＝B， ∴平面PAB∥平面EFG，AP?平面PAB， ∴AP∥平面EFG.
(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，
设F(0，0，a)，→GF＝(－1，－2，a)，→
GE＝(－1，－1，1)， 设平面EFG的法向量n1＝(x，y，1)，
则有???－x－2y＋a＝0，??x＝2－a，??－x－y＋1＝0，解得??
?
y＝a－1，∴n1＝(2－a，a－1，1)．
取平面EFD的法向量n2＝(1，0，0)，依题意， cos 〈n1，n2－a2〉＝
2
（2－a）2＋（a－1）2
＋1＝2
， ∴a＝1，于是→
GF＝(－1，－2，1)． 设平面PBC的法向量
n→
3＝(m，n，1)，PC＝(0，2，－2)，
→
BC＝(－2，0，0)，则有
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???2n－2＝0，?m＝0，?解得? ?－2m＝0，?n＝1.??
∴n3＝(0，1，1)．
设FG与平面PBC所成角为θ， 则有sin θ＝|cos 〈→
GF，n1
3〉|＝
6·2＝36， 故有cos θ＝
336
. 即FG与平面PBC所成角的余弦值为
336
. - 3 -