发布时间 : 星期五 文章广西大学数学建模习题精选更新完毕开始阅读39ead3fbb8f67c1cfad6b810
习题精选
第一部分练习 第二部分练习 第三部分练习 第四部分练习
试卷A 试卷B
试卷A参考答案 试卷B参考答案
第一部分练习
1（1）某甲8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回旅店。某乙说，甲必然在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者距今如下一轮，知道比赛结束。问共需要多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是n支球队比赛呢？
(3)甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
(4)某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？
(5)一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。以小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩奔向男孩，如此往返直到回到家中。问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？
2 学校共1000名学生，235人住A宿舍，333人住B宿舍，432人住C宿舍。学生们组织一个10人的委员会，试用下列办法分配个宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用整数n=1,2,…相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 … A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333 166.5 111 83.25 … C 432 216 144 108 86.4 将所得到商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10人增加至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗？用你的方法分配以上的名额。
3 用实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论雇员和雇主之间的协议关系：
(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是你画的那种形状。
(2) 如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族。根据雇员的误差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议. (3)雇主和雇员已经达成了一个协议（工作时间t1和工资w1）。如果雇主想使雇员的工资增加到t2，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议的另一点（t2,w2)达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时t1仍付原计时工资，对工时t2?t1付给更高的超时工资。试用作图方法分析哪种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件。
4在核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化： （1） 甲方提高导弹导航系统的性能 （2） 甲方增加导弹爆破的威力。 （3） 甲方发展电子干扰系统。 （4） 双方建立反导弹系统。
5 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙
膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比时1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有的和w无关。
(2)给出单位重量价格c与w的关系，画出他的简图，说明w越大c月小，但是随着w的增加c见效的程度越小。解释实际意义是什么。
第二部分练习
1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最新订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减小。
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期T内，开始的一段时间(0?t?T0)一边生产一边销售，后来的一段时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最有生产周期。讨论k??r和k?r的情况。
3 在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
4．在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型．
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成q本随时间增长，设q=q0??t，?为增长率．又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格)．今将销售期分为0?t?T/2和T/2?t?T两段，每段的价格固定，记作p1,p2，求
p1,p2的最优值．使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总售量为
Q0，再求p1,p2的最优值。
6．在消费者的选择模型中，
(1) 证明若条件B成立，则条件A成立
(2) 验证(3)，(5)，(7)式给出的效用函数是否满足条件B和A
(3) 若消费者的效用函数为(7)式，求最优比例p1q1/p2q2，并分析参数a,b的意义，
(4) 若商品甲的价格p1增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化。
(5) 若消费者购买商品的钱s增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化。
(6) 推广到消费者购买m(m?2)种商品的情况。
7 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变．试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a＝1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m．设跑步距离d=1000m，跑步最大速度为v，按以下步骤进行讨论[17] ：
(1) 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面上，且与人体的夹角为?，如图1建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度v多大时，总淋雨量最少。计算?＝0，?＝300时的总淋雨量。
(3) 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少．计算?＝300时的总淋雨量．
(4) 以总淋雨量为纵袖，速度v为横袖，对(3)作图(考虑?的影响)，并解释结果的实际意义，
(5) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化．
8．人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和．试建立模型讨论在作功最小的推则下每秒走几步最合适(匀速行走)．
(1) 设腿长l，步长s．证明人体重心在行走时升高??s2/8l(s?l)． (2) 将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2／6s
(3) 设人体质量M，证明在速度v一定时每秒行走n?3Mg4ml步做功最小．实际上，M/m?4,l?1m，分析这个结果合理吗？
(4) 将(2)的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动，